A3 Considere la matriz $$ M = \begin{bmatrix} t+1 & t \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ cuyas entradas son polinomios en la variable $t$ . Sea $a(t)$ el polinomio en la primera fila y primera columna de $M^{2025}$ y sea $b(t)$ el polinomio en la primera fila y segunda columna de $M^{2025}$ . Demuestre que $a(t)$ tiene 2025 raíces reales distintas $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{2025}$ y que $b(t)$ tiene 2025 raíces reales distintas $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_{2025}$ que satisfacen $$ \alpha_1 < \beta_1 < \alpha_2 < \beta_2 < \dots < \alpha_{2025} < \beta_{2025}. $$