5 Sea $A_0A_1...A_n$ ( $n > 2$ ) un polígono convexo plano de longitud $s$ con $A_0 \ne A_n$ . Sean los puntos $A_1$ , $ ...$ , $A_{n-1}$ situados en el mismo lado de la recta $g$ que pasa por $A_0$ y $A_n$ . Debe demostrarse que el área $F$ de la superficie resultante de la rotación del polígono alrededor de $g$ no es mayor que $\pi \frac{s^2}{2}$ , es decir, que se cumple $$F \le \pi \frac{s^2}{2}$$ Nota: Un polígono plano $A_0A_1...A_n$ se denomina convexo si el polígono encerrado por el segmento $A_0A_n$ delimita una superficie convexa.

Un cine tiene sus asientos dispuestos en $n$ filas $\times m$ columnas. Se vendieron $mn$ entradas, pero algunos asientos se vendieron más de una vez. El acomodador logró asignar los asientos de modo que cada poseedor de una entrada estuviera en la fila o columna correcta. Demuestre que él podría haber asignado los asientos de modo que cada poseedor de una entrada estuviera en la fila o columna correcta y al menos una persona estuviera en el asiento correcto. ¿Cuál es el máximo $k$ tal que él siempre podría haber puesto a cada poseedor de una entrada en la fila o columna correcta y al menos a $k$ personas en el asiento correcto?

5 Demuestre que para todo número real $x$ se cumple: $$\sin 5x = 16 \sin x \cdot \sin \left(x -\frac{\pi}{5} \right) \cdot \sin\left(x -\frac{2\pi}{5} \right) \sin \left(x +\frac{2\pi}{5} \right) $$

541 Un investigador calcula que necesita hacer como máximo $91$ preguntas bajo la premisa de que todas las respuestas serán sí o no y todas serán verdaderas. Las preguntas pueden depender de las respuestas anteriores. Demuestre que puede arreglárselas con $105$ preguntas si, como máximo, una respuesta podría ser mentira.

6 ¿Cuáles de las siguientes cuatro afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? a) Si un polígono inscrito en un círculo es equilátero, entonces también es equiangular. b) Si un polígono inscrito en un círculo es equiangular, entonces también es equilátero. c) Si un polígono circunscrito a un círculo es equilátero, entonces también es equiangular. d) Si un polígono circunscrito a un círculo es equiangular, entonces también es equilátero.

537 Cuatro rectas en el plano se cortan en seis puntos. Cada recta queda así dividida en dos segmentos y dos rayos. ¿Es posible que los ocho segmentos tengan longitudes $1, 2, 3, ... , 8$? ¿Pueden las longitudes de los ocho segmentos ser ocho enteros distintos?

1 Demuestre que para todos los números reales $a, b, c, d$ con $0 < a \le b \le c \le d$ se cumple $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d} $$

546 La figura de abajo está cortada a lo largo de las líneas en polígonos (que no necesitan ser convexos). Ningún polígono contiene un cuadrado de $2 \times 2$. ¿Cuál es el menor número posible de polígonos? [figura faltante]

1 Investigue si existe un polinomio de tercer grado $P(x)$ tal que $P(0) = 74$, $P(1) = 19$, $P(2) = 65$ y $P(3) = 92$. Si este es el caso, determine $P(4)$ y $P(5)$.

562 ¿Existe un entero de $4$ dígitos que no pueda convertirse en un múltiplo de $1992$ cambiando $3$ de sus dígitos?