10 Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).\] Amir

36 Un tetraedro regular $A_1B_1C_1D_1$ está inscrito en un tetraedro regular $ABCD$, donde $A_1$ yace en el plano $BCD$, $B_1$ en el plano $ACD$, etc. Demuestre que $A_1B_1 \ge\frac{ AB}{3}$.

37 Encuentre todas las bases de logaritmos para las cuales un número real positivo puede ser igual a su logaritmo, o demuestre que no existe ninguna. Amir

35 Dada una sucesión $(a_n)$, con $a_1 = 4$ y $a_{n+1} = a_n^2-2$ ($\forall n \in\mathbb{N}$), demuestre que existe un triángulo con longitudes de lado $a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$, y que su área es igual a un entero.

17 Encuentre los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ($\sqrt t$ significa la raíz cuadrada positiva de $t$). Amir

1 Encuentre el número de formas de escribir el número $2013$ como la suma de dos enteros mayores o iguales a cero de tal manera que al sumar no haya acarreo. Aclaración: En la suma $2008+5=2013$ hay acarreo de las unidades a las decenas.

Sea $\Pi$ el conjunto de paralelepípedos rectangulares que tienen al menos una arista de longitud entera. Si un paralelepípedo rectangular $P_0$ puede ser descompuesto en paralelepípedos $P_1,P_2, . . . ,P_N\in \Pi$, demuestre que $P_0\in \Pi$.

80 Demuestre que las ecuaciones funcionales \[f(x + y) = f(x) + f(y),\] \[ \text{y} \qquad f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb R)\] son equivalentes. Amir

79 Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ que consiste en varios arcos cerrados. Sea $K$ un conjunto que satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo; $(\text{ii})$ Para todo punto $A$ que pertenece a $K$, su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro en $A'$ no pertenecen a $K$. Demuestre que existen tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

Denotemos por $\omega (n)$ el número de divisores primos distintos del número $n$, donde $n$ es un entero mayor que $1$. Demuestre que existen infinitos números $n$ para los cuales se cumple $\omega (n)< \omega (n+1)<\omega (n+2)$.