1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo círculo inscrito es tangente a $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ABC$ con la recta $DE$ y sea $Z$ el punto medio de $BC$. Demuestre que el triángulo $XYZ$ es equilátero si y solo si $\angle A = 60^\circ$.

6 Hay $n\ge 2$ segmentos de recta en el plano tales que cada dos segmentos se cruzan y no hay tres segmentos que se corten en un mismo punto. Geoff debe elegir un extremo de cada segmento y colocar una rana en él mirando hacia el otro extremo. Luego, aplaudirá $n-1$ veces. Cada vez que aplauda, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección en su segmento. Las ranas nunca cambian la dirección de sus saltos. Geoff desea colocar las ranas de tal manera que ninguna de ellas ocupe el mismo punto de intersección al mismo tiempo. (a) Demuestre que Geoff siempre puede cumplir su deseo si $n$ es impar. (b) Demuestre que Geoff nunca puede cumplir su deseo si $n$ es par.

2008.8 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo inscrito en un círculo. Demuestre que las diagonales $AD, BE$ y $CF$ se intersecan en un punto si y solo si $$\frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE}\cdot \frac{EF}{FA}=1$$

1 Para cualesquiera números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$, ¿puede existir un número real $x$ tal que los números $a_1+x, a_2+x,\ldots, a_n+x$ sean todos irracionales?

2 Encuentre el número de permutaciones de los números $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ del $1$ al $n$ tales que la suma $\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}|a_i-a_{i+1}|$ tenga el valor máximo.

4 Dada una función $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ que satisface las condiciones \[f(n)=\left\{\begin{array}{ll} f(n-1)-n, & f(n-1)>n\\ f(n-1)+n, & f(n-1)\leqslant n \end{array}\right.\] y $f(1)=1$, encuentre los elementos máximo y mínimo del conjunto $S=\{n\in\mathbb N\mid f(n)=1998\}$.

5 En el triángulo $ABC$ suponga que $5\angle BAC = 3\angle ABC$. Sean $BC = a$, $AB = c$ y $AC = b$. Demuestre que $$(b^2 - a^2)^2 b^2 c^2 = a b c^2\bigl(a^2 c^2 - (b^2 - a^2)^2\bigr) +\bigl(a^2 c^2 - (b^2 - a^2)^2\bigr)^2. $$

2007.6 Tres círculos iguales $k_1, k_2, k_3$ se intersecan de manera no tangencial en un punto $P$. Sean $A$ y $B$ los centros de los círculos $k_1$ y $k_2$. Sean $D$ y $C$ las intersecciones de $k_3$ con $k_1$ y $k_2$ respectivamente, distintas de $P$. Demuestre que $ABCD$ es un paralelogramo.

2006.7 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle ABC = 60^o$ y $| BC | = | CD |$. Demuestre que $|CD| + |DA| = |AB|$.

2005.8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. $M$ y $N$ son dos puntos cualesquiera sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Los círculos con diámetros $BN$ y $CM$ se intersecan en los puntos $P$ y $Q$. Demuestre que los puntos $P, Q$ y el ortocentro del triángulo $ABC$ se encuentran sobre una misma línea recta.