6 En cada casilla de un tablero de $100 \times 100$ hay escrito un número entero. La operación permitida consiste en elegir cuatro casillas que formen la figura o cualquiera de sus reflexiones o rotaciones, y sumar $1$ a cada uno de los cuatro números. El objetivo es, mediante las operaciones permitidas, lograr un tablero con el menor número posible de residuos distintos módulo $33$. ¿Cuál es el número mínimo que se puede lograr con certeza?

3 Sea $T$ un triángulo no isósceles y $n \ge 4$ un entero. Demuestre que se puede dividir $T$ en $n$ triángulos y trazar en cada uno de ellos una bisectriz interior de tal manera que esas $n$ bisectrices sean paralelas.

2 Un rectángulo se divide en $n^2$ rectángulos más pequeños mediante $n - 1$ líneas horizontales y $n - 1$ líneas verticales. Entre esos rectángulos hay exactamente $5660$ que no son congruentes. ¿Para qué valor mínimo de $n$ es esto posible?

2023.7 En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$, y $P$ es un punto en el segmento $AF$. Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X \ne A$ e $Y \ne A$ yacen sobre los círculos $ABD$ y $ACE$, respectivamente, tales que $DA = DX$ y $EA = EY$. Demuestre que $B, C, X$ e $Y$ son concíclicos.

79 Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ que consiste en varios arcos cerrados. Sea $K$ un conjunto que satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo; $(\text{ii})$ Para todo punto $A$ que pertenece a $K$, su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro en $A'$ no pertenecen a $K$. Demuestre que existen tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

13 El plano está dividido en cuadrados iguales por líneas paralelas; es decir, se da una cuadrícula. Sea $M$ un conjunto arbitrario de $n$ cuadrados de esta cuadrícula. Demuestre que es posible elegir no menos de $n/4$ cuadrados de $M$ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan un punto en común. Amir

Denotemos por $\omega (n)$ el número de divisores primos distintos del número $n$, donde $n$ es un entero mayor que $1$. Demuestre que existen infinitos números $n$ para los cuales se cumple $\omega (n)< \omega (n+1)<\omega (n+2)$.

12 Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ están coloreados de rojo o azul. En todo triángulo que tiene todos sus lados coloreados, existe un lado rojo y un lado azul. Demuestre que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color. Amir

77 Sea $h(n)$ el mayor divisor primo del número $n$, donde $n$ es un entero mayor que $1$. ¿Existen infinitos números $n$ para los cuales se cumple $h(n) < h(n+1) < h(n+2)$?

76 Suponga que un triángulo cuyos lados tienen longitudes enteras está inscrito en un círculo de diámetro $6.25$. Encuentre los lados del triángulo.