3 El plano de una galería de arte es una figura cuadriculada donde cada cuadrado es una habitación, y se puede llegar de cualquier habitación a otra moviéndose a habitaciones adyacentes. Un vigilante en una habitación puede observar todas las habitaciones a las que se puede llegar desde esta habitación mediante un movimiento de una reina de ajedrez (sin salir de la galería). ¿Cuál es el número mínimo de vigilantes que es suficiente para observar todas las habitaciones en cualquier galería de $n$ habitaciones ($n > 2$)?

4 Una calculadora puede elevar un número al cuadrado o sumarle $1$. No puede sumar $1$ dos veces seguidas. Mediante varias operaciones, transformó un número $x$ en un número $S > x^n + 1$ ($x, n, S$ son enteros positivos). Demuestre que $S > x^n + x - 1$.

2019.7 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB = 2 \angle ABC$. Suponga que existe un punto $D$ en el interior del triángulo $ABC$ tal que $AD = BD$ y $CD = AC$. Demuestre que $\angle ACB = 3 \angle DCB$.

2020.7 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $AD> BC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de $\angle BAC$ y $BC$. Sea $E$ la intersección de $DB$ con la paralela a la bisectriz de $\angle CBD$ que pasa por $X$, y sea $F$ la intersección de $DC$ con la paralela a la bisectriz de $\angle DCB$ que pasa por $X$. Demuestre que el cuadrilátero $AEFD$ es cíclico.

2021.8 Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $AB = AC$ y $\angle BAC = 20^{\circ}$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ tal que $\angle BCD = 70^{\circ}$. Sea $E$ un punto en el lado $AC$ tal que $\angle CBE = 60^{\circ}$. Determine el valor del ángulo $\angle CDE$.

2022.8 Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en el interior del lado $BC$. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $AP B$ y $AP C$, respectivamente. Sea $X$ el punto más cercano a $A$ sobre la recta $AP$ tal que $XI_1$ es perpendicular a $XI_2$. Demuestre que la distancia $AX$ es independiente de la elección de $P$.

1 Un entero $n$ se denomina apocalíptico si la suma de $6$ divisores positivos distintos de $n$ da como resultado $3528$. Por ejemplo, $2012$ es apocalíptico, porque tiene seis divisores, $1$, $2$, $4$, $503$, $1006$ y $2012$, que suman $3528$. Encuentre el número apocalíptico positivo más pequeño.

2023.7 En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$, y $P$ es un punto en el segmento $AF$. Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X \ne A$ e $Y \ne A$ yacen sobre los círculos $ABD$ y $ACE$, respectivamente, tales que $DA = DX$ y $EA = EY$. Demuestre que $B, C, X$ e $Y$ son concíclicos.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo círculo inscrito es tangente a $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ABC$ con la recta $DE$ y sea $Z$ el punto medio de $BC$. Demuestre que el triángulo $XYZ$ es equilátero si y solo si $\angle A = 60^\circ$.

3 Sea $T$ un triángulo no isósceles y $n \ge 4$ un entero. Demuestre que se puede dividir $T$ en $n$ triángulos y trazar en cada uno de ellos una bisectriz interior de tal manera que esas $n$ bisectrices sean paralelas.