523 Encuentre todos los enteros $n$ tales que $\left[\frac{n}{1!}\right] + \left[\frac{n}{2!}\right] + ... + \left[\frac{n}{10!}\right] = 1001$.

480 Encuentre el valor mínimo de $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} +\frac{ zx}{y}$ para números reales positivos $x, y, z$ con $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

421 El rey de cierto estado desea construir $n$ ciudades y $n-1$ carreteras, conectándolas para brindar la posibilidad de trasladarse de cualquier ciudad a cualquier otra. (Cada carretera conecta dos ciudades, las carreteras no se cruzan y no pasan a través de otra ciudad). Él también desea que las distancias más cortas entre las ciudades, a lo largo de las carreteras, sean $1, 2, 3, \dots, n(n-1)/2$ kilómetros. ¿Es posible para a) $n=6$ b) $n=1986$?

479 En el triángulo acutángulo $ABC$, se trazan las alturas $BD$ y $CE$. Sean $F$ y $G$ los puntos de la recta $ED$ tales que $BF$ y $CG$ son perpendiculares a $ED$. Demuestre que $EF = DG$.

509 $N$ es el conjunto de los enteros positivos. ¿Existe una función $f: N \to N$ tal que $f(n+1) = f( f(n) ) + f( f(n+2) )$ para todo $n$?

400 El coeficiente principal $a$ en el polinomio de segundo grado $$P(x) = ax^2 + bx + c$$ es mayor que $100$. ¿Cuál es el número máximo de valores enteros de $x$ tales que $|P(x)| < 50$?

482 Sean $m, n, k$ enteros positivos con $m \ge n$ y $1 + 2 + ... + n = mk$. Demuestre que los números $1, 2, ... , n$ pueden dividirse en $k$ grupos de tal manera que la suma de los números en cada grupo sea igual a $m$.

435 Todas las casillas de una tabla cuadrada $n\times n$ ($n>2$) se llenan con $+1$ o $-1$ de acuerdo con las siguientes reglas: Al principio, se colocan $-1$ en todas las casillas del borde. El número colocado en la casilla correspondiente (la casilla se elige arbitrariamente) es igual al producto de los números más cercanos, desde los diferentes lados, en su fila o en su columna. a) ¿Cuál es el número mínimo? b) ¿Cuál es el número máximo posible de $+1$ en la tabla obtenida?

407 Dado un cubo, una caja cúbica que se ajusta exactamente al cubo, y seis colores. Una persona pinta cada cara del cubo con un color único. Otra persona hace lo mismo con la caja. Demuestre que una tercera persona puede colocar el cubo dentro de la caja de tal manera que cada cara del cubo toque una cara de la caja de diferente color.

Se trazan tres rectas paralelas a los lados de un triángulo en la parte del plano opuesta al vértice que no pertenece al lado. La distancia de cada lado a la recta correspondiente es igual a la longitud del lado. Demuestre que los seis puntos de intersección de dichas rectas con las prolongaciones de los lados se encuentran sobre una misma circunferencia.