404 El pentágono convexo $ABCDE$ fue dibujado en el plano. $A_1$ fue simétrico a $A$ con respecto a $B$. $B_1$ fue simétrico a $B$ con respecto a $C$. $C_1$ fue simétrico a $C$ con respecto a $D$. $D_1$ fue simétrico a $D$ con respecto a $E$. $E_1$ fue simétrico a $E$ con respecto a $A$. ¿Cómo es posible restaurar el pentágono inicial con regla y compás, conociendo los puntos $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$?

424 Dos circunferencias, con una distancia $d$ entre sus centros, se cortan en los puntos $P$ y $Q$. Se trazan dos rectas que pasan por el punto $A$ en la primera circunferencia ($Q\ne A\ne P$) y por los puntos $P$ y $Q$. Estas rectas cortan a la segunda circunferencia en los puntos $B$ y $C$. a) Demuestre que el radio del círculo circunscrito al triángulo $ABC$ es igual a $d$. b) Describa el conjunto de los centros del nuevo círculo si el punto $A$ se mueve a lo largo de toda la primera circunferencia.

392 ¿Qué es mayor, $\frac{2}{201}$ o $\ln\frac{101}{100}$? (No se permite el uso de cálculo diferencial).

435 Todas las casillas de una tabla cuadrada $n\times n$ ($n>2$) se llenan con $+1$ o $-1$ de acuerdo con las siguientes reglas: Al principio, se colocan $-1$ en todas las casillas del borde. El número colocado en la casilla correspondiente (la casilla se elige arbitrariamente) es igual al producto de los números más cercanos, desde los diferentes lados, en su fila o en su columna. a) ¿Cuál es el número mínimo? b) ¿Cuál es el número máximo posible de $+1$ en la tabla obtenida?

Dos círculos desiguales se cortan en $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca a los círculos en $P$ y $Q$. Demuestre que $ZX$ es tangente al circuncírculo de $PXQ$.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

429 Un cubo con arista de longitud $n$ ($n\ge 3$) consiste en $n^3$ cubos unitarios. Demuestre que es posible escribir $n^3$ enteros diferentes en todos los cubos unitarios para obtener una suma cero de todos los enteros en cada fila paralela a alguna arista.

372 Demuestre que para todo $a$ y $b$ positivos se cumple la desigualdad $$\frac{(a+b)^2}{2} + \frac{a+b}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a$$

400 El coeficiente principal $a$ en el polinomio de segundo grado $$P(x) = ax^2 + bx + c$$ es mayor que $100$. ¿Cuál es el número máximo de valores enteros de $x$ tales que $|P(x)| < 50$?

405 La sucesión $a_1, a_2, ... , a_k, ...$ se construye de acuerdo con las reglas: $$a_{2n} = a_n,a_{4n+1} = 1,a_{4n+3} = 0$$ Demuestre que es una sucesión no periódica.