414 Resuelva la ecuación (el "$2$" aparece $1985$ veces): $$\dfrac{x}{2+ \dfrac{x}{2+\dfrac{x}{2+... \dfrac{x}{2+\sqrt {1+x}}}}}=1$$

409 Si hay cuatro números $(a,b,c,d)$ en cuatro registros de la máquina calculadora, estos se transforman en $(a-b,b-c,c-d,d-a)$ cada vez que se presiona el botón. Demuestre que si no todos los números iniciales son iguales, la máquina obtendrá al menos un número mayor que $1985$ después de cierto número de operaciones.

359 El alumno está practicando la resolución de ecuaciones cuadráticas. Habiendo resuelto la ecuación recurrente, se detiene si esta no tiene dos raíces, o resuelve la siguiente ecuación, con el término independiente igual a la mayor raíz, el coeficiente de $x$ igual a la menor raíz, y el coeficiente de $x^2$ igual a $1$. Demuestre que el proceso no puede ser infinito. ¿Cuál es el número máximo de ecuaciones que tendrá que resolver?

377 números naturales $n$ ($n>3$) están escritos en una circunferencia. La relación de la suma de dos vecinos con el número mismo es un número entero. Demuestre que la suma de esas relaciones es a) no menor que $2n$ b) menor que $3n$

394 Demuestre que toda sección transversal de un cubo que contenga su centro tiene un área no menor que el área de una de sus caras.

6 Sean $\alpha, \beta, \gamma$ los ángulos de un triángulo. Demuestre que $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma \le \frac{3}{2}$ y encuentre los casos de igualdad.

570 Defina la sucesión $a_1 = 1, a_2, a_3, ...$ mediante $$a_{n+1} = a_1^2 + a_2 ^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 + n$$ Demuestre que $1$ es el único cuadrado en la sucesión.

5 Se da un cuadrado con longitud de lado $a$. Una distancia $PQ$ de longitud $p$, donde $p < a$, se mueve de tal manera que sus puntos extremos están siempre sobre los lados del cuadrado. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $PQ$?

Se dan 579 $1992$ vectores en el plano. Dos jugadores eligen vectores no seleccionados de forma alternativa. El ganador es aquel cuyos vectores sumen un vector con mayor magnitud (o empatan si las magnitudes son iguales). ¿Puede el primer jugador evitar siempre perder?

547 $ABC$ es un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. El circuncircunferencia de $ABO$ corta a $AC$ y $BC$ en $M$ y $N$. Demuestre que los circunradios de $ABO$ y $MNC$ son iguales.