439 Llamemos a un polinomio admisible si todos sus coeficientes son $0, 1, 2$ o $3$. Para un $n$ dado, encuentre el número de todos los polinomios admisibles $P$ tales que $P(2) = n$.

483 Una línea poligonal con un número finito de segmentos tiene todos sus vértices sobre una parábola. Dos segmentos adyacentes cualesquiera forman ángulos iguales con la tangente a la parábola en su punto de intersección. Un extremo de la línea poligonal también se encuentra sobre el eje de la parábola. Demuestre que los otros vértices de la línea poligonal están todos en el mismo lado del eje.

521 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo. $X$ es un punto en el lado $AB$. $AC$ y $DX$ se cortan en $Y$. Demuestre que los circuncírculos de $ABC$, $CDY$ y $BDX$ tienen un punto en común.

458 El $n$-ágono convexo ($n\ge 5$) se corta a lo largo de todas sus diagonales. Demuestre que existe al menos un par de partes con áreas diferentes.

522 Dos saltamontes se encuentran en los extremos opuestos del intervalo $[0, 1]$. Se marca un número finito de puntos (mayor que cero) en el intervalo. Un movimiento consiste en que un saltamontes seleccione un punto marcado y salte sobre él hasta el punto equidistante al otro lado. Este punto debe estar dentro del intervalo para que el movimiento sea permitido, pero no tiene por qué estar marcado. ¿Cuál es el menor $n$ tal que, si cada saltamontes realiza $n$ movimientos o menos, entonces terminan sin puntos marcados entre ellos?

385 Hay una balanza y $(n+1)$ pesas con un peso total de $2n$. Cada peso es un entero. Colocamos todas las pesas por turno en el lado más ligero de la balanza, comenzando por la más pesada, y si la balanza está en equilibrio, en el lado izquierdo. Demuestre que cuando todas las pesas hayan sido colocadas en la balanza, esta estará en equilibrio.

Dos círculos desiguales se cortan en $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca a los círculos en $P$ y $Q$. Demuestre que $ZX$ es tangente al circuncírculo de $PXQ$.

372 Demuestre que para todo $a$ y $b$ positivos se cumple la desigualdad $$\frac{(a+b)^2}{2} + \frac{a+b}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a$$

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

452 Los números positivos $a,b,c,A,B,C$ satisfacen la condición $$a + A = b + B = c + C = k$$ Demuestre que $$aB + bC + cA \le k^2$$