480 Encuentre el valor mínimo de $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} +\frac{ zx}{y}$ para números reales positivos $x, y, z$ con $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

436 Demuestre que para todo natural $n$ la siguiente desigualdad es válida $$|\sin 1| + |\sin 2| + |\sin (3n-1)| + |\sin 3n| > \frac{8n}{5}$$

446 Una $L$ es una disposición de $3$ cuadrados unitarios adyacentes formada al eliminar un cuadrado unitario de un cuadrado de $2 \times 2$. a) ¿Cuántas $L$ se pueden colocar en un tablero de $8 \times 8$ (sin que se solapen puntos interiores)? b) Demuestre que si se elimina cualquier cuadrado de un tablero de $1987 \times 1987$, entonces los cuadrados restantes pueden cubrirse con $L$ (sin que se solapen puntos interiores).

509 $N$ es el conjunto de los enteros positivos. ¿Existe una función $f: N \to N$ tal que $f(n+1) = f( f(n) ) + f( f(n+2) )$ para todo $n$?

437 Demuestre que la suma de todos los números representables como $\frac{1}{mn}$ , donde $m,n$ son números naturales, $1 \le m < n \le 1986$ , no es un entero.

510 Un polígono convexo es tal que cualquier segmento que divide al polígono en dos partes de igual área y que tiene al menos un extremo en un vértice tiene una longitud $< 1$. Demuestre que el área del polígono es $< \pi /4$.

Dos círculos desiguales se cortan en $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca a los círculos en $P$ y $Q$. Demuestre que $ZX$ es tangente al circuncírculo de $PXQ$.

450 Dado un pentágono convexo $ABCDE$ con $\angle ABC= \angle ADE$ y $\angle AEC= \angle ADB$. Demuestre que $\angle BAC = \angle DAE$.

523 Encuentre todos los enteros $n$ tales que $\left[\frac{n}{1!}\right] + \left[\frac{n}{2!}\right] + ... + \left[\frac{n}{10!}\right] = 1001$.

355 El punto $D$ es el punto medio del lado $[AB]$ del triángulo $ABC$. Los puntos $E$ y $F$ pertenecen a $[AC]$ y $[BC]$ respectivamente. Demuestre que el área del triángulo $DEF$ no excede la suma de las áreas de los triángulos $ADE$ y $BDF$.