443 Dado un heptágono regular $A_1...A_7$. Demuestre que $$\frac{1}{|A_1A_5|} + \frac{1}{|A_1A_3| }= \frac{1}{|A_1A_7|}$$ .

418 El polinomio cuadrático $x^2+ax+b+1$ tiene raíces naturales. Demuestre que $(a^2+b^2)$ es un número compuesto.

Dos cuadrados iguales, uno con lados rojos y otro con lados azules, forman un octágono en su intersección. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos del octágono es igual a la suma de las longitudes de los lados azules del octágono.

464 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo. Los puntos medios de las diagonales y los puntos medios de $AB$ y $CD$ forman otro cuadrilátero convexo $Q$. Los puntos medios de las diagonales y los puntos medios de $BC$ y $CA$ forman un tercer cuadrilátero convexo $Q'$. Las áreas de $Q$ y $Q'$ son iguales. Demuestre que $AC$ o $BD$ divide a $ABCD$ en dos partes de igual área.

395 Se trazan dos perpendiculares desde los puntos medios de cada lado de un triángulo acutángulo hacia los otros dos lados. Esos seis segmentos forman un hexágono. Demuestre que el área del hexágono es la mitad del área del triángulo.

466 Dada una sucesión de $19$ enteros positivos que no exceden $88$ y otra sucesión de $88$ enteros positivos que no exceden $19$. Demuestre que podemos encontrar dos subsecuencias de términos consecutivos, una de cada sucesión, con la misma suma.

444 El juego de "Batalla naval". a) Usted intenta encontrar el barco de $4$ casillas, un rectángulo de $1x4$, situado en un tablero de juego de $7x7$. Se le permite hacer la pregunta de si ocupa una casilla en particular o no. ¿Cuántas preguntas es necesario hacer para encontrar ese barco con seguridad? b) La misma pregunta, pero el barco es un conjunto conexo (es decir, sus casillas tienen lados comunes) de $4$ casillas.

371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.

442 Se sabe que, teniendo $6$ pesas, es posible equilibrar una balanza con cargas, cuyos pesos son números naturales consecutivos desde $1$ hasta $63$. Encuentre todos los conjuntos de pesas posibles.

11 Hay \( n \) tazas etiquetadas \( 1, 2, \dots, n \), donde la \( i \)-ésima taza tiene una capacidad de \( i \) litros. En total, hay \( n \) litros de agua distribuidos entre estas tazas de tal manera que cada taza contiene una cantidad entera de agua. En cada paso, podemos transferir agua de una taza a otra. El proceso continúa hasta que la taza de origen se vacía o la taza de destino se llena. $a)$ Demuestre que, a partir de cualquier configuración donde cada taza contiene una cantidad entera de agua, es posible llegar a una configuración en la que cada taza contiene exactamente 1 litro de agua en a lo sumo \( \frac{4n}{3} \) pasos. $b)$ Demuestre que, en a lo sumo \( \frac{5n}{3} \) pasos, se puede pasar de cualquier configuración con cantidades enteras de agua a cualquier otra configuración con la misma propiedad. Propuesto por Ehsan Heidari