1 Para un entero positivo $n$, denotamos por $P_0(n)$ el producto de todos los dígitos distintos de cero de $n$. Sea $N_0$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $P_0(n)|n$. Encuentre el mayor valor posible de $\ell$ tal que $N_0$ contenga infinitas sucesiones de $\ell$ enteros consecutivos. Propuesto por Navid Safaei, Irán.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $P, Q$ puntos sobre $AB, AC$ respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$. Se dan los puntos $X, Y$ sobre los segmentos $BQ, CP$ respectivamente, tales que $\angle AXP = \angle XCB$ y $\angle AYQ = \angle YBC$. Demuestre que $AX = AY$. Propuesto por Ervin Macić, Bosnia y Herzegovina.

4 Un rectángulo en el sistema cartesiano xy se denomina reticular si todos sus vértices tienen coordenadas enteras. a) Encuentre un rectángulo reticular de área $2013$, cuyos lados no sean paralelos a los ejes. b) Demuestre que si un rectángulo reticular tiene área $2011$, entonces sus lados son paralelos a los ejes.

3 Encuentre todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

2 Resuelva en enteros $20^x+13^y=2013^z$ .

1 $\boxed{N1}$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales $1^3+2^3+\cdots+{16}^3+{17}^n$ es un cuadrado perfecto.

3 Encuentre todos los $ a, b, c \in \mathbb{Z} $ , $ c \ge 0 $ tales que $ a^n + 2^n | b^n + c $ para todo entero positivo $ n $ donde $ 2ab $ no es un cuadrado.

2 Sean $ a_1 , a_2 , \cdots , a_k $ números tales que $ a_i \in \{ 0,1,2,3 \} ( i= 1, 2, \cdots ,k) $. Sea $ z = ( x_k , x_{k-1} , \cdots , x_1 )_4 $ una expansión en base 4 de $ z \in \{ 0, 1, 2, \cdots , 4^k -1 \} $. Defina $ A $ de la siguiente manera: \[ A = \{ z | p(z)=z, z=0, 1, \cdots ,4^k-1 \}\] donde \[ p(z) = \sum_{i=1}^{k} a_i x_i 4^{i-1} . \] Demuestre que el número de elementos en $ A $ es una potencia de 2.

1 El incírculo de un triángulo no isósceles $ABC$ con centro $I$ toca los lados $BC, CA, AB$ en $A_1, B_1, C_1$ respectivamente. La recta $AI$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $A_2$. La recta $B_1 C_1$ corta a la recta $BC$ en $A_3$ y la recta $A_2 A_3$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $A_4 (\ne A_2)$. Defina $B_4, C_4$ de manera similar. Demuestre que las rectas $AA_4, BB_4, CC_4$ son concurrentes.

Se marcan $7501$ puntos en un cuadrado de $96 \times 96$. Llamamos marco al cuadrado de $4 \times 4$ sin su cuadrado central de $2 \times 2$. Demuestre que existe un marco con lados paralelos al cuadrado de $96 \times 96$ (no necesariamente alineado con las líneas de la cuadrícula) que contiene al menos $10$ puntos marcados. Propuesto por Negar Babashah, Shima Amirbeygie. Clasificación 5.