1 Encuentre el valor máximo de componentes naturales del número $96$ que podemos separar de tal manera que todos ellos deban ser números primos entre sí.

2 Dado el vértice $A$ y el $A$-excircunferecia $\omega_A$. Construya todos los triángulos posibles tales que el circuncentro del $\triangle ABC$ coincida con el baricentro del triángulo formado por los puntos de tangencia de $\omega_A$ y los lados del triángulo. Propuesto por Seyed Reza Hosseini Dolatabadi, Pooya Esmaeil Akhondy Clasificación 4

2 Se escribe un entero positivo en cada cuadrado de $1 \times 1$ de un tablero de $m \times n$. Se permiten las siguientes operaciones: (1) En una fila seleccionada arbitrariamente del tablero, todos los números deben reducirse en $1$. (2) En una columna seleccionada arbitrariamente del tablero, duplicar todos los números. ¿Es siempre posible, después de un número finito de pasos, que todos los números escritos en el tablero sean iguales a $-1$? (Explique la respuesta.)

2 Se da el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} (x_2 - x_1)^2 + 2 (x_2 + x_1) + 1 = n^2\\ (x_3 - x_2)^2 + 2 (x_3 + x_2) + 1 = n^2 \\ ................ \\ (x_1 - x_n)^2 + 2 (x_1 + x_n) + 1 = n^2 \end{cases}$$ donde $n > 1$. $(a_1, a_2,..., a_n)$ es una solución con enteros no negativos $a_i$. Demuestre que $a_1 = a_n$ o $a_j = a_{j + 1}$ para todo $j$ tal que $1 \le j \le n - 1$.

5 Considere dos sucesiones $x_n=an+b$, $y_n=cn+d$ donde $a,b,c,d$ son números naturales y $gcd(a,b)=gcd(c,d)=1$, demuestre que existen infinitos $n$ tales que $x_n$ e $y_n$ son ambos libres de cuadrados. Propuesto por Siavash Rahimi Shateranloo, Matin Yadollahi. Clasificación 3

041 Las dos alturas en el triángulo no son menores que los lados respectivos. Encuentre los ángulos.

2 Dado un círculo $C$ y un punto $P$ en su exterior, se trazan dos tangentes al círculo que pasan por $P$, siendo $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Tomamos un punto $Q$ en el arco menor $AB$ de $C$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con la recta perpendicular a $AQ$ que pasa por $P$, y sea $N$ la intersección de $BQ$ con la recta perpendicular a $BQ$ que pasa por $P$. Demuestre que, al variar $Q$ en el arco menor $AB$, todas las rectas $MN$ pasan por el mismo punto.

027 Dadas $5$ circunferencias, cada cuatro de ellas tienen un punto en común. Demuestre que existe un punto que pertenece a las cinco circunferencias.

014 Dada la circunferencia $s$ y la recta $l$, que pasa por el centro $O$ de $s$. Otra circunferencia $s'$ pasa por el punto $O$ y tiene su centro en $l$. Describa el conjunto de puntos $M$, donde la tangente común a $s$ y $s'$ toca a $s'$.

3 Encuentre la solución de la ecuación $8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1$ en el intervalo $[0,1]$.