3 ¿Existe una sucesión infinita no constante de números naturales distintos tal que para todo $k$ suficientemente grande se cumple que la suma de cualquier sub-sucesión de tamaño $k$ es libre de cuadrados si y solo si $k$ es libre de cuadrados? Propuesto por Alireza Haqi, Amir Rezaie Moghadam Clasificado 3

059 Un boleto de autobús se considera afortunado si la suma de los tres primeros dígitos es igual a la suma de los tres últimos ( $6$ dígitos en los autobuses rusos). Demuestre que la suma de todos los números afortunados es divisible por $13$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $P, Q$ puntos sobre $AB, AC$ respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$. Se dan los puntos $X, Y$ sobre los segmentos $BQ, CP$ respectivamente, tales que $\angle AXP = \angle XCB$ y $\angle AYQ = \angle YBC$. Demuestre que $AX = AY$. Propuesto por Ervin Macić, Bosnia y Herzegovina.

014 Dada la circunferencia $s$ y la recta $l$, que pasa por el centro $O$ de $s$. Otra circunferencia $s'$ pasa por el punto $O$ y tiene su centro en $l$. Describa el conjunto de puntos $M$, donde la tangente común a $s$ y $s'$ toca a $s'$.

1 Para un entero positivo $n$, denotamos por $P_0(n)$ el producto de todos los dígitos distintos de cero de $n$. Sea $N_0$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $P_0(n)|n$. Encuentre el mayor valor posible de $\ell$ tal que $N_0$ contenga infinitas sucesiones de $\ell$ enteros consecutivos. Propuesto por Navid Safaei, Irán.

2 Dado un círculo $C$ y un punto $P$ en su exterior, se trazan dos tangentes al círculo que pasan por $P$, siendo $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Tomamos un punto $Q$ en el arco menor $AB$ de $C$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con la recta perpendicular a $AQ$ que pasa por $P$, y sea $N$ la intersección de $BQ$ con la recta perpendicular a $BQ$ que pasa por $P$. Demuestre que, al variar $Q$ en el arco menor $AB$, todas las rectas $MN$ pasan por el mismo punto.

3 Encuentre todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

Se escriben enteros positivos del 1 al 9 en cada casilla de una tabla de $ 3 \times 3 $. Definamos una operación de la siguiente manera: tome una fila o columna arbitraria y reemplace estos números $ a, b, c $ por números no negativos $ a-x, b-x, c+x $ o $ a+x, b-x, c-x $, donde $ x $ es un número positivo y puede variar en cada operación. (1) ¿Existe una serie de operaciones tal que los 9 números resulten ser iguales a partir de la siguiente disposición inicial a)? b)? \[ a) \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \] \[ b) \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 5 \\ 9 & 3 & 4 \\ 6 & 7 & 1 \end{array} \] (2) Determine el valor máximo al cual los 9 números resultan ser iguales después de algunos pasos.

4 En una escuela hay $n$ clases y $k$ estudiantes. Sabemos que en esta escuela cada dos estudiantes han asistido exactamente a una clase en común. Además, debido a lo pequeño de la escuela, cada clase tiene menos de $k$ estudiantes. Si $k-1$ no es un cuadrado perfecto, demuestre que existe un estudiante que ha asistido al menos a $\sqrt k$ clases. Propuesto por Mohammad Moshtaghi Far, Kian Shamsaie Calificación 4

2 Resuelva en enteros $20^x+13^y=2013^z$ .