3 Encuentre todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

2 Resuelva en enteros $20^x+13^y=2013^z$ .

1 Encuentre el número máximo de celdas que pueden ser coloreadas en un tablero de $4\times 3000$ de tal manera que no se forme ningún tetrominó. Propuesto por Arian Zamani, Matin Yousefi. Clasificación 5

Un grupo de piratas tuvo una discusión y no todos ellos apuntan a otros dos con sus armas. Todos los piratas son llamados uno por uno en algún orden. Si el pirata llamado aún está vivo, dispara a ambos piratas a los que apunta (algunos de los cuales podrían estar ya muertos). Todos los disparos son inmediatamente letales. Después de que todos los piratas han sido llamados, resulta que exactamente $28$ piratas fueron asesinados. Demuestre que si los piratas fueran llamados en cualquier otro orden, al menos $10$ piratas habrían sido asesinados de todas formas.

4 Un rectángulo en el sistema cartesiano xy se denomina reticular si todos sus vértices tienen coordenadas enteras. a) Encuentre un rectángulo reticular de área $2013$, cuyos lados no sean paralelos a los ejes. b) Demuestre que si un rectángulo reticular tiene área $2011$, entonces sus lados son paralelos a los ejes.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $P, Q$ puntos sobre $AB, AC$ respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$. Se dan los puntos $X, Y$ sobre los segmentos $BQ, CP$ respectivamente, tales que $\angle AXP = \angle XCB$ y $\angle AYQ = \angle YBC$. Demuestre que $AX = AY$. Propuesto por Ervin Macić, Bosnia y Herzegovina.

1 Para un entero positivo $n$, denotamos por $P_0(n)$ el producto de todos los dígitos distintos de cero de $n$. Sea $N_0$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $P_0(n)|n$. Encuentre el mayor valor posible de $\ell$ tal que $N_0$ contenga infinitas sucesiones de $\ell$ enteros consecutivos. Propuesto por Navid Safaei, Irán.

004 Dada una tabla $4\times 4$. a) Encuentre cómo se pueden colocar $7$ estrellas en sus casillas de tal manera que al borrar dos filas y dos columnas arbitrarias siempre quede al menos una de las estrellas. b) Demuestre que si hay menos de $7$ estrellas, siempre se pueden encontrar dos columnas y dos filas tales que, si se borran, no quede ninguna estrella en la tabla.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC,$ y sea $D$ el pie de su altura desde $A.$ Los puntos $B'$ y $C'$ yacen sobre los rayos $AB$ y $AC,$ respectivamente, de tal manera que los puntos $B',$ $C'$ y $D$ son colineales y los puntos $B,$ $C,$ $B'$ y $C'$ yacen sobre un mismo círculo con centro $O.$ Demuestre que si $M$ es el punto medio de $BC$ y $H$ es el ortocentro de $ABC,$ entonces $DHMO$ es un paralelogramo.

027 Dadas $5$ circunferencias, cada cuatro de ellas tienen un punto en común. Demuestre que existe un punto que pertenece a las cinco circunferencias.