8 Un entero $n$ se llama silesiano si existen enteros positivos $a, b$ y $c$ tales que $$n=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.$$ $(a)$ Demuestre que existen infinitos enteros silesianos. $(b)$ Demuestre que no todo entero positivo es silesiano.

5 Sea $\mathbb{R}_{>0}$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentre todas las funciones estrictamente monótonas (crecientes o decrecientes) $f:\mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ tales que existe un polinomio de dos variables $P(x, y)$ con coeficientes reales que satisface $$ f(xy)=P(f(x), f(y)) $$ para todo $x, y\in\mathbb{R}_{>0}$. Propuesto por Navid Safaei, Irán

027 Dadas $5$ circunferencias, cada cuatro de ellas tienen un punto en común. Demuestre que existe un punto que pertenece a las cinco circunferencias.

3 Para enteros dados $n>0$ y $k> 1$, sea $F_{n,k}(x,y)=x!+n^k+n+1-y^k$. Demuestre que existen solo un número finito de parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $F_{n,k}(a,b)=0$.

6 Sea $a\equiv 1\pmod{4}$ un entero positivo. Demuestre que cualquier polinomio $Q\in\mathbb{Z}[X]$ con todos sus coeficientes positivos tal que $$Q(n+1)((a+1)^{Q(n)}-a^{Q(n)})$$ sea un cuadrado perfecto para todo $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ debe ser un polinomio constante. Propuesto por Vlad Matei, Rumania

6 Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz interna de $ABC$ corta al lado $AC$ en $L$ y al circuncírculo de $ABC$ nuevamente en $W \neq B.$ Sea $K$ la proyección perpendicular de $L$ sobre $AW.$ El circuncírculo de $BLC$ corta a la recta $CK$ nuevamente en $P \neq C.$ Las rectas $BP$ y $AW$ se cortan en el punto $T.$ Demuestre que $$AW=WT.$$

015 Dados los números positivos $a_1,a_2,...,a_{99},a_{100}$. Se sabe que $$a_1>a_0, a_2=3a_1-2a_0, a_3=3a_2-2a_1, ..., a_{100}=3a_{99}-2a_{98}$$ Demuestre que $$a_{100}>2^{99}.$$

1 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos que satisfacen $abc=1.$ Demuestre que $$\frac{a^2-b^2}{a+bc}+\frac{b^2-c^2}{b+ca}+\frac{c^2-a^2}{c+ab}\leq a+b+c-3.$$

4 Ana juega un juego en un tablero de ajedrez de $100\times 100$. Inicialmente, hay un peón blanco en cada casilla de la fila inferior y un peón negro en cada casilla de la fila superior, y no hay otros peones en ninguna otra parte. Cada peón blanco se mueve hacia la fila superior y cada peón negro se mueve hacia la fila inferior de una de las siguientes maneras: se mueve a la casilla directamente frente a él si no hay otro peón en ella; captura un peón en una de las casillas diagonalmente adyacentes en la fila inmediatamente frente a él si hay un peón del color opuesto en ella. (Decimos que un peón $P$ captura a un peón $Q$ del color opuesto si retiramos a $Q$ del tablero y movemos a $P$ a la casilla en la que estaba $Q$ anteriormente). Ana puede mover cualquier peón (no necesariamente alternando entre negro y blanco) de acuerdo con esas reglas. ¿Cuál es el número mínimo de peones que pueden permanecer en el tablero después de que no se puedan realizar más movimientos? Propuesto por José Alejandro Reyes González, México

6 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ y los polinomios $P(x),Q(x),R(x)$ con coeficientes reales positivos tales que $Q(-1)=-1$ y para todos los números reales positivos $x,y$: $$f(\frac{x}{y}+R(y))=\frac{f(x)}{Q(y)}+P(y).$$ Propuesto por Alireza Danaie, Ali Mirazaie Anari Clasificado 2