27 Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, tales que no hay dos de ellos que tengan un divisor común mayor que $1$. Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ es el mayor entero que no puede expresarse de la forma $xbc+yca+zab$, donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

2 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se cortan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de $n$ colores distintos de modo que cada color se utilice al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentre todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania darij

22 ¿Existe un número infinito de conjuntos $C$ que consisten en $1983$ números naturales consecutivos tales que cada uno de los números es divisible por algún número de la forma $a^{1983}$, con $a \in \mathbb N, a \neq 1$? Amir

41 Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Una coloración de $E$ es una aplicación de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ existen que satisfagan la siguiente propiedad: el número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$? Amir

4 Considere una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto no mayor a $1$. La suma de todas las entradas de la matriz es $0$. Sea $n$ un entero positivo par. Determine el menor número $C$ tal que toda matriz de este tipo necesariamente tiene una fila o una columna cuya suma de sus entradas no excede $C$ en valor absoluto. Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

7 Defina un "gancho" como una figura compuesta por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen a continuación, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy] unitsize(0.5 cm); draw((0,0)--(1,0)); draw((0,1)--(1,1)); draw((2,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,3)--(3,3)); draw((0,0)--(0,3)); draw((1,0)--(1,3)); draw((2,1)--(2,3)); draw((3,1)--(3,3)); [/asy] Determine todos los rectángulos $m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos, de tal manera que: - el rectángulo sea cubierto sin huecos y sin superposiciones; - ninguna parte de un gancho cubra un área fuera del rectángulo. Valentin

53 Sea $a \in \mathbb R$ y sean $z_1, z_2, \ldots, z_n$ números complejos de módulo $1$ que satisfacen la relación \[\sum_{k=1}^n z_k^3=4(a+(a-n)i)- 3 \sum_{k=1}^n \overline{z_k}\] Demuestre que $a \in \{0, 1,\ldots, n \}$ y $z_k \in \{1, i \}$ para todo $k.$ Amir

75 Encuentre la suma de las quincuagésimas potencias de todos los lados y diagonales de un polígono regular de $100$ lados inscrito en un círculo de radio $R.$ Amir

74 En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos rectas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tales que la recta $AB$ está igualmente inclinada respecto a $a$ y $b$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tales que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a $a$ sea igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y a $b$ (es decir, $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$, donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente). Amir

52 Sea $(F_n)_{n\geq 1} $ la sucesión de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ y $P(x)$ el polinomio de grado $990$ que satisface \[ P(k) = F_k, \qquad \text{ para } k = 992, . . . , 1982.\] Demuestre que $P(1983) = F_{1983} - 1.$ Amir