375 Demuestre que para todo $x, y$ positivos y todo número real $a$ se cumple la desigualdad $x^{\sin ^2a} y^{\cos^2a} < x + y$.

El grupo $10A$ tiene $29$ estudiantes que están listados en orden en su lista de deberes. El grupo $10B$ tiene $32$ estudiantes que están listados en orden en su lista de deberes. Cada día hay dos estudiantes de servicio, uno del grupo $10A$ y otro del grupo $10B$. Cada día, solo uno de los estudiantes de servicio cambia y es reemplazado por el siguiente estudiante en la lista correspondiente (cuando el último estudiante de una lista es reemplazado, es sustituido por el primero). En dos días particulares, los mismos dos estudiantes estaban de servicio. ¿Es posible que, comenzando el primero de estos días y terminando el día anterior al segundo, cada par de estudiantes (uno de $10A$ y uno de $10B$) haya compartido el servicio exactamente una vez?

355 El punto $D$ es el punto medio del lado $[AB]$ del triángulo $ABC$. Los puntos $E$ y $F$ pertenecen a $[AC]$ y $[BC]$ respectivamente. Demuestre que el área del triángulo $DEF$ no excede la suma de las áreas de los triángulos $ADE$ y $BDF$.

424 Dos circunferencias, con una distancia $d$ entre sus centros, se cortan en los puntos $P$ y $Q$. Se trazan dos rectas que pasan por el punto $A$ en la primera circunferencia ($Q\ne A\ne P$) y por los puntos $P$ y $Q$. Estas rectas cortan a la segunda circunferencia en los puntos $B$ y $C$. a) Demuestre que el radio del círculo circunscrito al triángulo $ABC$ es igual a $d$. b) Describa el conjunto de los centros del nuevo círculo si el punto $A$ se mueve a lo largo de toda la primera circunferencia.

378 El círculo con centro $O$ está inscrito en el triángulo $ABC$. La circunferencia toca sus lados $[BC], [CA], [AB]$ en los puntos $A_1, B_1, C_1$ respectivamente. Los segmentos $[AO], [BO], [CO]$ cortan la circunferencia en los puntos $A_2, B_2, C_2$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(A_1A_2), (B_1B_2)$ y $(C_1C_2)$ se intersecan en un mismo punto.

465 Demuestre que existen infinitas ternas de enteros positivos distintos $a, b, c$ tales que cada uno divide al producto de los otros dos y $a + b = c + 1$.

401 En el diagrama siguiente, $a, b, c, d, e, f, g, h, i, j$ son enteros positivos distintos y cada uno (excepto $a, e, h$ y $j$) es la suma de los dos números a la izquierda y arriba. Por ejemplo, $b = a + e, f = e + h, i = h + j$. ¿Cuál es el menor valor posible de $d$? j h i e f g a b c d

448 Dadas dos líneas quebradas cerradas en el plano con un número impar de lados. Todas las rectas que contienen dichos lados son distintas, y no hay tres de ellas que se corten en un mismo punto. Demuestre que es posible elegir un lado de cada línea tal que los lados elegidos sean los lados opuestos de un cuadrilátero convexo.

Tres discos se tocan dos a dos desde el exterior en los puntos $X, Y, Z$. Luego, los radios de los discos se expandieron $2/\sqrt3$ veces, y los centros se mantuvieron. Demuestre que el triángulo $XYZ$ está completamente cubierto por los discos expandidos.

482 Sean $m, n, k$ enteros positivos con $m \ge n$ y $1 + 2 + ... + n = mk$. Demuestre que los números $1, 2, ... , n$ pueden dividirse en $k$ grupos de tal manera que la suma de los números en cada grupo sea igual a $m$.