400 El coeficiente principal $a$ en el polinomio de segundo grado $$P(x) = ax^2 + bx + c$$ es mayor que $100$. ¿Cuál es el número máximo de valores enteros de $x$ tales que $|P(x)| < 50$?

452 Los números positivos $a,b,c,A,B,C$ satisfacen la condición $$a + A = b + B = c + C = k$$ Demuestre que $$aB + bC + cA \le k^2$$

382 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen el sistema: $\begin{cases} x^2 + xy + y^2/3= 25 \\ y^2/ 3 + z^2 = 9 \\ z^2 + zx + x^2 = 16 \end{cases}$ Encuentre el valor de la expresión $xy + 2yz + 3zx$.

Dos círculos desiguales se cortan en $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca a los círculos en $P$ y $Q$. Demuestre que $ZX$ es tangente al circuncírculo de $PXQ$.

El grupo $10A$ tiene $29$ estudiantes que están listados en orden en su lista de deberes. El grupo $10B$ tiene $32$ estudiantes que están listados en orden en su lista de deberes. Cada día hay dos estudiantes de servicio, uno del grupo $10A$ y otro del grupo $10B$. Cada día, solo uno de los estudiantes de servicio cambia y es reemplazado por el siguiente estudiante en la lista correspondiente (cuando el último estudiante de una lista es reemplazado, es sustituido por el primero). En dos días particulares, los mismos dos estudiantes estaban de servicio. ¿Es posible que, comenzando el primero de estos días y terminando el día anterior al segundo, cada par de estudiantes (uno de $10A$ y uno de $10B$) haya compartido el servicio exactamente una vez?

379 Encuentre los enteros $m$ y $n$ tales que $(5 + 3 \sqrt2)^m = (3 + 5 \sqrt2)^n$.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

396 ¿Existe algún número $n$ tal que la suma de sus dígitos en la notación decimal sea $1000$ y la suma de los cuadrados de sus dígitos en la notación decimal sea $1000000$?

359 El alumno está practicando la resolución de ecuaciones cuadráticas. Habiendo resuelto la ecuación recurrente, se detiene si esta no tiene dos raíces, o resuelve la siguiente ecuación, con el término independiente igual a la mayor raíz, el coeficiente de $x$ igual a la menor raíz, y el coeficiente de $x^2$ igual a $1$. Demuestre que el proceso no puede ser infinito. ¿Cuál es el número máximo de ecuaciones que tendrá que resolver?

443 Dado un heptágono regular $A_1...A_7$. Demuestre que $$\frac{1}{|A_1A_5|} + \frac{1}{|A_1A_3| }= \frac{1}{|A_1A_7|}$$ .