La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 25 de feb. de 2017, 11:33 a. m. • 4 Y Y por samirka259, tenplusten, Adventure10, Mango247 En el plano cartesiano, sean $G_1$ y $G_2$ las gráficas de las funciones cuadráticas $f_1(x) = p_1x^2 + q_1x + r_1$ y $f_2(x) = p_2x^2 + q_2x + r_2$, donde $p_1 > 0 > p_2$. Las gráficas $G_1$ y $G_2$ se cruzan en puntos distintos $A$ y $B$. Las cuatro tangentes a $G_1$ y $G_2$ en $A$ y $B$ forman un cuadrilátero convexo que tiene un círculo inscrito. Demuestre que las gráficas $G_1$ y $G_2$ tienen el mismo eje de simetría. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por dcouchman, 27 de feb. de 2017, 5:41 p. m. Razón: editado para corregir p_2x_2 a p_2x^2 Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Sadigly 247 publicaciones Sadigly #1 h 8 de mayo de 2025, 10:15 a. m. • 1 Y Y por farhad.fritl Se le da un entero positivo $n$. $n^2$ personas se encuentran en las coordenadas $(x;y)$ donde $x,y\in\{0;1;2;...;n-1\}$. Cada persona tiene un vaso de agua y se considera que dos personas son vecinas si la distancia entre ellas es $1$. En el primer minuto, la persona que se encuentra en las coordenadas $(0;0)$ tiene $1$ litro de agua, y los vasos de agua de las otras $n^2-1$ personas están vacíos. Cada minuto, se eligen dos personas vecinas que no tienen la misma cantidad de agua en sus vasos, y estas igualan la cantidad de agua en sus vasos. Demuestre que, sin importar lo que suceda, la persona que se encuentra en las coordenadas $(x;y)$ no tendrá más de $\frac1{x+y+1}$ litros de agua. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Sadigly, 11 de mayo de 2025, 12:40 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Sadigly 247 publicaciones Sadigly #1 h 8 de mayo de 2025, 10:05 a. m. • 1 Y Y por Just1 Alice crea una sucesión: Para los primeros $2025$ términos de esta sucesión, ella escribe una permutación aleatoria de $\{1;2;3;...;2025\}$. Para definir los términos siguientes, ella hace lo siguiente: toma los últimos $2025$ términos de la sucesión y calcula su mediana. ¿Cuántos valores podría tomar el término número $3000$ de esta sucesión? (Nota: Para encontrar la mediana de $2025$ números, usted los escribe en orden creciente y toma el número que se encuentra en el medio). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Sadigly, 8 de mayo de 2025, 12:25 p. m. Razón: Error de traducción Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Sadigly 247 publicaciones Sadigly #1 h 8 de mayo de 2025, 10:25 a. m. Y por A Se da un número de 9 dígitos $N$, cuyos dígitos son distintos de cero y todos diferentes. Se calculan las sumas de todos los segmentos de tres dígitos consecutivos en la representación decimal del número $N$ y se ordenan de forma creciente. ¿Es posible obtener las siguientes sucesiones como resultado de esta operación? $\text{a)}$ $11,15,16,18,19,21,22$ $\text{b)}$ $11,15,16,18,19,21,23$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Sadigly, 8 de mayo de 2025, 11:29 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FrenchFries356 97 publicaciones FrenchFries356 #1 h 12 de enero de 2019, 5:55 a. m. • 4 Y Y por Davrbek, Mathuzb, Adventure10, Mango247 Se da un número natural $n>1$. Sea $I$ un conjunto de enteros que son primos relativos con $n$. Defina la función $f:I \to \mathbb{N}$. Llamamos a una función $k$-periódica si para cualesquiera $a,b$, $f(a)=f(b)$ siempre que $k|a-b$. Sabemos que $f$ es $n$-periódica. Demuestre que el periodo mínimo de $f$ divide a todos los demás periodos. Ejemplo: si $n=6$ y $f(1)=f(5)$, entonces el periodo mínimo es 1; si $f(1)$ no es igual a $f(5)$, entonces el periodo mínimo es 3. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 28 de mar. de 2025, 2:28 p. m. Y por El guardarropa de un cine funciona con algunos descansos. El tiempo total que el guardarropa estuvo abierto hoy es de 8 horas. El horario del guardarropa es tal que es posible proyectar cualquier película de duración máxima de 12 horas de modo que el guardarropa esté abierto al menos una hora antes y después de la película (las películas se proyectan sin interrupciones). Encuentre la cantidad mínima posible de descansos en el horario del guardarropa. A. Voidelevich Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por nAalniaOMliO, 3 de jun. de 2025, 11:28 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FrenchFries356 97 publicaciones FrenchFries356 #1 h 12 de enero de 2019, 6:05 a. m. • 7 Y Y por Davrbek, Mathuzb, integrated_JRC, Adventure10, Mango247, Kingsbane2139, farhad.fritl Definimos dos tipos de operación en un polinomio de tercer grado: a) intercambiar las posiciones de los coeficientes del polinomio (incluyendo los coeficientes cero), ej: $ x^3+x^2+3x-2 $ => $ -2x^3+3x^2+x+1$ b) reemplazar el polinomio $P(x)$ por $P(x+1)$ Si se permite una cantidad ilimitada de operaciones, ¿es posible obtener $x^3-3x^2+3x-3$ a partir de $x^3-2$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 28 de mar. de 2025, 2:23 p. m. Y Las alturas $BE$ y $CF$ del triángulo $ABC$ se cortan en $H$. Se traza una perpendicular $HT$ desde $H$ a $EF$. Los circuncírculos de $ABC$ y $BHT$ se cortan en $B$ y $X$. Demuestre que $\angle TXA= \angle BAC$. V. Kamianetski Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por nAalniaOMliO, 4 de jun. de 2025, 7:46 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 25 de feb. de 2017, 11:14 a. m. • 3 Y Y por Ankoganit, Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero mayor que $1$ y sea $X$ un conjunto de $n$ elementos. Una colección no vacía de subconjuntos $A_1, ..., A_k$ de $X$ es ajustada si la unión $A_1 \cup \cdots \cup A_k$ es un subconjunto propio de $X$ y ningún elemento de $X$ pertenece exactamente a uno de los $A_i$. Encuentre la mayor cardinalidad de una colección de subconjuntos propios no vacíos de $X$, tal que ninguna subcolección no vacía de la misma sea ajustada. Nota: Un subconjunto $A$ de $X$ es propio si $A\neq X$. Se asume que los conjuntos en una colección son distintos. Se asume que la colección completa es una subcolección. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por v_Enhance, 25 de ago. de 2020, 11:48 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FrenchFries356 97 publicaciones FrenchFries356 #1 h 11 de enero de 2019, 5:43 a. m. • 3 Y Y por Mathuzb, Adventure10, farhad.fritl Se da el triángulo $ABC$. La mediana $CM$ corta la circunferencia de $ABC$ en $N$. Se eligen $P$ y $Q$ en los rayos $CA$ y $CB$ respectivamente, tales que $PM$ es paralelo a $BN$ y $QM$ es paralelo a $AN$. Se eligen los puntos $X$ e $Y$ en los segmentos $PM$ y $QM$ respectivamente, tales que tanto $PY$ como $QX$ son tangentes a la circunferencia de $ABC$. Sea $Z$ la intersección de $PY$ y $QX$. Demuestre que el cuadrilátero $MXZY$ es circunscrito. Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por FrenchFries356, 11 de enero de 2019, 5:47 a. m. Z K Y