La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 8:41 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. En un torneo de ajedrez hay $n \geq 5$ jugadores, y ya han jugado $\left[ \frac{n^2}{4} \right] +2$ partidas (cada par ha jugado entre sí como máximo una vez). (a) Demuestre que existen cinco jugadores $a, b, c, d, e$ para los cuales los pares $ab, ac, bc, ad, ae, de$ ya han jugado. (b) ¿Es la afirmación también válida para $\left[ \frac{n^2}{4} \right] +1$ partidas jugadas? Realice la demostración por inducción sobre $n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 8:46 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Considere el $1987$-gono regular $A_1A_2 . . . A_{1987}$ con centro $O$. Demuestre que la suma de los vectores que pertenecen a cualquier subconjunto propio de $M = \{OA_j | j = 1, 2, . . . , 1987\}$ es distinta de cero. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1923 publicaciones Assassino9931 #1 h 8 de abril de 2025, 7:53 a. m. • 2 Y Y por cubres, ItsBesi Sea \( ABC \) un triángulo acutángulo con \( AB < AC \), \( M \) el punto medio del lado \( BC \), \( AD \) la altura ( \( D \in BC \) ) y \( H \) el ortocentro. Un círculo pasa por los puntos \( B \) y \( D \), es tangente a la recta \( AB \) e interseca al circuncírculo del triángulo \( ABC \) en un segundo punto \( Q \). El circuncírculo del triángulo \( QDH \) interseca a la recta \( BC \) en un segundo punto \( P \). Demuestre que las rectas \( MH \) y \( AP \) son perpendiculares. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 3:09 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Calcule $\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a_k^2$ donde $a_k$ son los coeficientes en el desarrollo \[(1- \sqrt 2 x +x^2)^n =\sum_{k=0}^{2n} a_k x^k.\] Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:05 PM Y por Hay $n$ personas sentadas en un círculo, y cada una de ellas es un mentiroso o alguien que dice la verdad. El mentiroso siempre miente, y quien dice la verdad siempre dice la verdad. Cada persona sabe exactamente quién está mintiendo y quién está diciendo la verdad. Cada persona dice que la persona sentada dos lugares a su izquierda (esto significa al lado de la persona sentada a su lado), es alguien que dice la verdad. Se sabe que en este círculo, hay al menos un mentiroso y al menos una persona que dice la verdad. (a) ¿Es posible que $n = 2024$ ? (b) ¿Es posible que $n = 2025$ ? Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:12 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1923 publicaciones Assassino9931 #1 h 8 de abril de 2025, 7:54 a. m. • 2 Y Y por cubres, GioOrnikapa Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe un entero positivo $a$ tal que exactamente $\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor$ de los enteros $a + 1, a + 2, \ldots, a + n$ son libres de cuadrados. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Assassino9931, 8 de abril de 2025, 7:54 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 3:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $l, l'$ dos rectas en el espacio $3$ y sean $A,B,C$ tres puntos tomados sobre $l$ con $B$ como punto medio del segmento $AC$. Si $a, b, c$ son las distancias de $A,B,C$ a $l'$, respectivamente, demuestre que $b \leq \sqrt{ \frac{a^2+c^2}{2}}$, donde la igualdad se cumple si $l, l'$ son paralelas. Adjuntos: Z K Y

Sea $A$ un conjunto de $2n$ puntos en el plano tal que no hay tres puntos colineales. Demuestre que para cualesquiera dos puntos distintos $a,b\in A$ existe una recta que divide a $A$ en dos subconjuntos, cada uno conteniendo $n$ puntos, y tal que $a$ y $b$ se encuentran en lados opuestos de la recta.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 8:51 a. m. • 3 Y Y por ahmedosama, Adventure10, Mango247 Resuelva la ecuación $28^x = 19^y +87^z$ , donde $x, y, z$ son enteros. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 3:00 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $PQ$ un segmento de recta de longitud constante $\lambda$ tomado sobre el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ con el orden $B,P,Q,C$, y sean las rectas que pasan por $P$ y $Q$ paralelas a los lados laterales que cortan a $AC$ en $P_1$ y $Q_1$ y a $AB$ en $P_2$ y $Q_2$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los trapecios $PQQ_1P_1$ y $PQQ_2P_2$ es independiente de la posición de $PQ$ sobre $BC.$ Adjuntos: Z K Y