La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 27 de oct. de 2005, 4:22 p. m. • 5 Y Y por hectorraul, yshk, Adventure10 y otros 2 usuarios En el plano, los puntos con coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados están coloreados alternativamente de negro y blanco (como en un tablero de ajedrez). Para cualquier par de enteros positivos $ m$ y $ n$ , considere un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes $ m$ y $ n$ , yacen a lo largo de los lados de los cuadrados. Sea $ S_1$ el área total de la parte negra del triángulo y $ S_2$ el área total de la parte blanca. Sea $ f(m,n) = | S_1 - S_2 |$ . a) Calcule $ f(m,n)$ para todos los enteros positivos $ m$ y $ n$ que sean ambos pares o ambos impares. b) Demuestre que $ f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n \}$ para todo $ m$ y $ n$ . c) Demuestre que no existe una constante $ C\in\mathbb{R}$ tal que $ f(m,n) < C$ para todo $ m$ y $ n$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 7:34 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $AA_1, BB_1, CC_1$ las alturas en un triángulo acutángulo $ABC$, $K$ y $M$ son puntos en los segmentos de recta $A_1C_1$ y $B_1C_1$ respectivamente. Demuestre que si los ángulos $MAK$ y $CAA_1$ son iguales, entonces el ángulo $C_1KM$ es bisecado por $AK.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 4:50 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $A, B$ y $C$ tres puntos en el borde de una cuerda circular tales que $B$ está directamente al oeste de $C$ y $ABC$ es un triángulo equilátero cuyo lado mide $86$ metros. Un niño nadó desde $A$ directamente hacia $B$. Después de cubrir una distancia de $x$ metros, giró y nadó hacia el oeste, llegando a la orilla después de cubrir una distancia de $y$ metros. Si $x$ e $y$ son ambos enteros positivos, determine $y.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 7:18 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incentro de un triángulo es el punto medio del segmento de recta de longitud $4$ que une el baricentro y el ortocentro del triángulo. Determine el área máxima posible del triángulo. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 21 de sep. de 2010, 6:09 a. m. • 3 Y Y por KlausJanick, Adventure10, Mango247 Demuestre que de $x + y = 1 \ (x, y \in \mathbb R)$ se sigue que \[x^{m+1} \sum_{j=0}^n \binom{m+j}{j} y^j + y^{n+1} \sum_{i=0}^m \binom{n+i}{i} x^i = 1 \qquad (m, n = 0, 1, 2, \ldots ).\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 24 de mayo de 2007, 7:24 PM • 4 Y Y por Adventure10, megarnie, UpvoteFarm, Mango247 Cuando $4444^{4444}$ se escribe en notación decimal, la suma de sus dígitos es $ A.$ Sea $B$ la suma de los dígitos de $A.$ Encuentre la suma de los dígitos de $ B.$ ($A$ y $B$ están escritos en notación decimal.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 21 de sep. de 2010, 6:05 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $M$ el conjunto de todos los enteros positivos que no contienen el dígito $9$ (base $10$). Si $x_1, \ldots , x_n$ son elementos arbitrarios pero distintos en $M$, demuestre que \[\sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j} < 80 .\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 21 de sep. de 2010, 6:00 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots $ una sucesión de números reales tal que $0 \leq a_n \leq 1$ y $a_n - 2a_{n+1} + a_{n+2} \geq 0$ para $n = 1, 2, 3, \ldots$ . Demuestre que \[0 \leq (n + 1)(a_n - a_{n+1}) \leq 2 \qquad \text{ para } n = 1, 2, 3, \ldots\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 21 de sep. de 2010, 5:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el entero representado por $\left[ \sum_{n=1}^{10^9} n^{-2/3} \right] $. Aquí $[x]$ denota el mayor entero menor o igual a $x.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 3:24 p. m. • 3 Y Y por mathematicsy, Adventure10, Mango247 Consideramos dos sucesiones de números reales $x_{1} \geq x_{2} \geq \ldots \geq x_{n}$ y $\ y_{1} \geq y_{2} \geq \ldots \geq y_{n}.$ Sean $z_{1}, z_{2}, .\ldots, z_{n}$ una permutación de los números $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}.$ Demuestre que $\sum \limits_{i=1}^{n} ( x_{i} -\ y_{i} )^{2} \leq \sum \limits_{i=1}^{n}$ $( x_{i} - z_{i})^{2}.$ Z K Y