La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YaoAOPS 1952 publicaciones YaoAOPS #1 h 4 de mar. de 2025, 10:20 p. m. • 1 Y Y por MS_asdfgzxcvb Sean $n, k, l$ enteros positivos que satisfacen $n \ge 3$ , $l \le n - 2, l - k \le \frac{n-3}{2}$ . Suponga que $a_1, a_2, \dots, a_k$ son enteros elegidos de $\{1, 2, \dots, n\}$ tales que el conjunto de residuos de las sumas de subconjuntos sobre todos los subconjuntos de $a_i$ al dividirlos por $n$ es exactamente $\{1, 2, \dots, l\}$ . Demuestre que \[ a_1 + a_2 + \dots + a_k = l. \] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por YaoAOPS, 4 de mar. de 2025, 10:23 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de nov. de 2010, 6:50 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con vértice en $C.$ Sean $D$ y $E$ dos puntos en los lados $AC$ y $BC$ tales que las bisectrices de los ángulos $\angle DEB$ y $\angle ADE$ se cortan en $F,$ el cual se encuentra en el segmento $AB.$ Demuestre que $F$ es el punto medio de $AB.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 3:18 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr En el plano de un triángulo $ABC,$ en su exterior, dibujamos los triángulos $ABR, BCP, CAQ$ de tal manera que $\angle PBC = \angle CAQ = 45^{\circ}$ , $\angle BCP = \angle QCA = 30^{\circ}$ , $\angle ABR = \angle RAB = 15^{\circ}$ . Demuestre que a.) $\angle QRP = 90\,^{\circ},$ y b.) $QR = RP.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de nov. de 2010, 6:41 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para un número real $t$ y números reales positivos $a,b$ tenemos \[2a^2-3abt+b^2=2a^2+abt-b^2=0\] Encuentre $t.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de nov. de 2010, 6:44 a. m. • 2 Y Y por ahmedosama, Adventure10 Encuentre todos los números primos $p, q, r$ tales que \[15p+7pq+qr=pqr.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YaoAOPS 1952 publicaciones YaoAOPS #1 h 4 de marzo de 2025, 9:28 PM • 8 Y Y por MS_asdfgzxcvb, Retemoeg, Resolut1on07, sami1618, Rounak_iitr, NO_SQUARES, Deadline, pomodor_ap Suponga que $\triangle ABC$ tiene a $D$ como el punto medio de $BC$ y a $H$ como el ortocentro. Sea $P$ un punto arbitrario en el círculo de los nueve puntos de $ABC$. La recta que pasa por $P$ perpendicular a $AP$ corta a $BC$ en $Q$. La recta que pasa por $A$ perpendicular a $AQ$ corta a $PQ$ en $X$. Si $M$ es el punto medio de $AQ$, demuestre que $HX \perp DM$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2004, 9:57 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, mathematicsy, megarnie, Mango247 Determine el menor valor posible de $f(1998),$ donde $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ es una función tal que para todo $m,n\in {\Bbb N}$ , \[f\left( n^{2}f(m)\right) =m\left( f(n)\right) ^{2}. \] Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 23 de octubre de 2004, 7:52 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 21 de sep. de 2010, 6:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $f(x)$ una función continua definida en el intervalo cerrado $0 \leq x \leq 1$. Sea $G(f)$ el gráfico de $f(x): G(f) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 | 0 \leq x \leq 1, y = f(x) \}$. Sea $G_a(f)$ el gráfico de la función trasladada $f(x - a)$ (trasladada una distancia $a$), definido por $G_a(f) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 | a \leq x \leq a + 1, y = f(x - a) \}$. ¿Es posible encontrar para todo $a, \ 0 < a < 1$, una función continua $f(x)$, definida en $0 \leq x \leq 1$, tal que $f(0) = f(1) = 0$ y $G(f)$ y $G_a(f)$ sean conjuntos de puntos disjuntos? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YaoAOPS 1952 publicaciones YaoAOPS #1 h 4 de mar. de 2025, 9:20 p. m. • 1 Y Y por MS_asdfgzxcvb Demuestre que el polinomio sobre las variables $x,y,z$ \[ x^4(x-y)(x-z) + y^4(y-z)(y-x) + z^4(z-x)(z-y) \] no puede escribirse como una suma finita de cuadrados de polinomios reales sobre $x,y,z$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por YaoAOPS, 4 de mar. de 2025, 9:20 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 3:08 p. m. • 5 Y Y por myh2910, mijail, Adventure10, Mango247, Amir Hossein Determine los polinomios P de dos variables tales que: a.) para cualesquiera números reales $t,x,y$ se tiene $P(tx,ty) = t^n P(x,y)$ donde $n$ es un entero positivo, el mismo para todo $t,x,y;$ b.) para cualesquiera números reales $a,b,c$ se tiene $P(a + b,c) + P(b + c,a) + P(c + a,b) = 0;$ c.) $P(1,0) =1.$ Z K Y