314 ¿Es posible llenar una tabla rectangular con cuadrados blancos y negros (únicamente) de tal manera que el número de cuadrados negros sea igual al número de cuadrados blancos, y cada fila y cada columna tenga más del $75\%$ de cuadrados del mismo color?

178 Los números reales $a,b,c$ satisfacen la condición: para todo $x$ tal que $-1 \le x \le 1$, se cumple la desigualdad $$| ax^2 + bx + c | \le 1$$ Demuestre que para el mismo $x$, $$| cx^2 + bx + a | \le 2$$

212 Demuestre que para todos los números positivos $a,b,c$ la siguiente desigualdad es válida: $$a^3+b^3+c^3+3abc>ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$$

450 Dado un pentágono convexo $ABCDE$ con $\angle ABC= \angle ADE$ y $\angle AEC= \angle ADB$. Demuestre que $\angle BAC = \angle DAE$.

451 Demuestre que existe tal $a$ que todos los números $\cos a, \cos 2a, \cos 4a, ... , \cos (2^na)$ son negativos.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

452 Los números positivos $a,b,c,A,B,C$ satisfacen la condición $$a + A = b + B = c + C = k$$ Demuestre que $$aB + bC + cA \le k^2$$

387 Las cifras $x$ e $y$ satisfacen una condición: para todo $n\ge1$ el número $$xx...x6yy...y4$$ ($n$ veces $x$ y $n$ veces $y$) es un cuadrado perfecto. Encuentre todos los posibles $x$ e $y$.

403 Encuentre todos los pares $(x,y)$ tales que $|\sin x-\sin y| + \sin x \sin y \le 0$.

444 Demuestre que $1^{1987} + 2^{1987} + ... + n^{1987}$ es divisible por $n+2$.