La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de agosto de 2008, 10:21 PM • 3 Y Y por nguyendangkhoa17112003, Adventure10, Mango247 En un triángulo acutángulo $ ABC,$ sean $ AD,BE$ las alturas y $ AP,BQ$ las bisectrices internas. Denotemos por $ I$ y $ O$ al incentro y al circuncentro del triángulo, respectivamente. Demuestre que los puntos $ D, E$ e $ I$ son colineales si y solo si los puntos $ P, Q$ y $ O$ son colineales. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. hxtung 317 publicaciones hxtung #1 h 13 de oct. de 2003, 5:11 a. m. • 16 Y Y por ShahinH, ahmedosama, Davi-8191, hashtagmath, HarryPotterAnis, mathematicsy, Adventure10, justJen, HWenslawski, megarnie, Mango247, cubres y otros 4 usuarios Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $a^{b^2} = b^a$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:27 PM • 2 Y Y por GeoKing, mxsail Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todos los números reales $a, b, c$, se tiene \[ f(a+b+c)f(ab+bc+ca) - f(a)f(b)f(c) = f(a+b)f(b+c)f(c+a). \] Propuesto por Mainak Ghosh y Rijul Saini Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:56 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:30 PM • 4 Y Y por GeoKing, idkk, ads07, mxsail Sea $r>0$ un número real. Llamamos a un polinomio mónico con coeficientes complejos $r$-bueno si todas sus raíces tienen un valor absoluto de a lo sumo $r$. Llamamos a un polinomio mónico con coeficientes complejos primordial si todos sus coeficientes tienen un valor absoluto de a lo sumo $1$. a) Demuestre que cualquier polinomio $1$-bueno tiene un múltiplo primordial. b) Si $r>1$, demuestre que existe un polinomio $r$-bueno que no tiene un múltiplo primordial. Propuesto por Pranjal Srivastava Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:57 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:15 PM • 4 Y Y por GeoKing, Supercali, ehuseyinyigit, mxsail Sean $x_1, x_2 \dots, x_{2024}$ números reales no negativos tales que $x_1 \le x_2\cdots \le x_{2024}$ , y $x_1^3 + x_2^3 + \dots + x_{2024}^3 = 2024$ . Demuestre que \[\sum_{1 \le i < j \le 2024} (-1)^{i+j} x_i^2 x_j \ge -1012.\] Propuesto por Shantanu Nene Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:52 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fiachra 106 publicaciones Fiachra #1 h 12 de feb. de 2005, 5:07 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las diagonales $ AC$ y $ BD$ se intersecan en $ K$ . Demuestre que $ ABCD$ es cíclico si y solo si $ AK \sin A + CK \sin C = BK \sin B + DK \sin D$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. everythingpi3141592 91 publicaciones everythingpi3141592 #1 h 30 de mayo de 2024, 10:09 PM • 3 Y Y por GeoKing, CRT_07, mxsail Un conejo dormido se encuentra en el interior de un $2024$-gono convexo. Un cazador elige tres vértices del polígono y coloca una trampa que cubre el interior y la frontera de la región triangular determinada por ellos. Determine el número mínimo de veces que necesita hacer esto para garantizar que el conejo sea atrapado. Propuesto por Anant Mudgal y Rohan Goyal Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por everythingpi3141592, 31 de mayo de 2024, 11:02 AM Razón: redacción original + acreditación del autor Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Siddharth03 179 publicaciones Siddharth03 #1 h 1 de junio de 2024, 12:55 PM • 4 Y Y por GeoKing, Rijul saini, SatisfiedMagma, mxsail Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y $\angle BAC = 60^{\circ}$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a la recta $BC$ y al circuncírculo del $\triangle ABC$ en los puntos $M$ y $L$ respectivamente. Sea $K$ la reflexión de $BL\cap AC$ sobre la recta $BC$. Sea $D$ un punto en la recta $CO$ tal que $DM$ sea perpendicular a $KL$. Demuestre que los puntos $K,A,D$ son colineales. Propuesto por Sanjana Philo Chacko Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Siddharth03, 1 de junio de 2024, 1:05 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 27 de oct. de 2005, 4:31 p. m. • 4 Y Y por nguyendangkhoa17112003, mathematicsy, Adventure10, Mango247 Se sabe que $ \angle BAC$ es el ángulo más pequeño en el triángulo $ ABC$ . Los puntos $ B$ y $ C$ dividen el círculo circunscrito del triángulo en dos arcos. Sea $ U$ un punto interior del arco entre $ B$ y $ C$ que no contiene a $ A$ . Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ se cortan con la recta $ AU$ en $ V$ y $ W$ , respectivamente. Las rectas $ BV$ y $ CW$ se cortan en $ T$ . Demuestre que $ AU = TB + TC$ . Formulación alternativa: Se eligen cuatro puntos distintos $ A,B,C,D$ en un círculo $ \Gamma$ tales que el triángulo $ BCD$ no es rectángulo. Demuestre que: (a) Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ se cortan con la recta $ AD$ en ciertos puntos $ W$ y $ V,$ respectivamente, y que las rectas $ CV$ y $ BW$ se cortan en un cierto punto $ T.$ (b) La longitud de uno de los segmentos de recta $ AD, BT$ y $ CT$ es la suma de las longitudes de los otros dos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 27 de oct. de 2005, 4:46 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, cubres Para cada entero positivo $ n$ , sea $ f(n)$ el número de formas de representar $ n$ como una suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos. Las representaciones que solo difieren en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo, $ f(4) = 4$ , porque el número 4 puede representarse de las siguientes cuatro formas: 4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1. Demuestre que, para cualquier entero $ n \geq 3$ tenemos $ 2^{\frac {n^2}{4}} < f(2^n) < 2^{\frac {n^2}2}$ . Z K Y