La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 30 de mayo de 2024, 10:27 PM • 2 Y Y por GeoKing, mxsail Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todos los números reales $a, b, c$, se tiene \[ f(a+b+c)f(ab+bc+ca) - f(a)f(b)f(c) = f(a+b)f(b+c)f(c+a). \] Propuesto por Mainak Ghosh y Rijul Saini Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 31 de mayo de 2024, 12:56 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. adrian97 18 publicaciones adrian97 #1 h 28 de agosto de 2017, 2:44 PM • 3 Y Y por Davi-8191, Adventure10, Mango247 Decimos que tres enteros diferentes son amigables si uno de ellos divide al producto de los otros dos. Sea $n$ un entero positivo. a) Demuestre que, entre $n^2$ y $n^2+n$, exclusivos, no existe ningún triplete de números amigables. b) Determine si para cada $n$ existe un triplete de números amigables entre $n^2$ y $n^2+n+3\sqrt{n}$, exclusivos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. adrian97 18 publicaciones adrian97 #1 h 28 de agosto de 2017, 2:23 PM • 2 Y Y por Davi-8191, Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo inscrito en un círculo con centro $O$. Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $AD = DE = EC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ADE$ y $\angle DEC$. Si $X \neq O$, demuestre que las rectas $OX$ y $DE$ son perpendiculares. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por adrian97, 28 de agosto de 2017, 2:24 PM Razón: numeración incorrecta Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. adrian97 18 publicaciones adrian97 #1 h 28 de agosto de 2017, 2:13 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$. Encuentre todos los $n$ tales que $S(n)(S(n)-1)=n-1$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por adrian97, 28 de agosto de 2017, 2:28 PM Razón: error tipográfico (un "=" extra) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. adrian97 18 publicaciones adrian97 #1 h 28 de agosto de 2017, 2:07 PM • 1 Y Y por Adventure10 Hay $ 2016 $ posiciones marcadas alrededor de un círculo, con una ficha en una de ellas. Un movimiento legítimo consiste en mover la ficha 1 posición o 4 posiciones desde su ubicación, en el sentido de las agujas del reloj. La restricción es que la ficha no puede ocupar la misma posición más de una vez. Los jugadores $ A $ y $ B $ se turnan para realizar movimientos. El jugador $ A $ realiza el primer movimiento. El primer jugador que no pueda realizar un movimiento legítimo pierde. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. adrian97 18 publicaciones adrian97 #1 h 17 de ago. de 2017, 11:34 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cada $k= 1,2, \ldots$ sea $s_k$ el número de pares $(x,y)$ que satisfacen la ecuación $kx + (k+1)y = 1001 - k$ con $x$ , $y$ enteros no negativos. Encuentre $s_1 + s_2 + \cdots + s_{200}$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por adrian97, 17 de ago. de 2017, 11:46 p. m. Razón: Es 2016, no 2017. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. adrian97 18 publicaciones adrian97 #1 h 17 de agosto de 2017, 11:00 PM • 2 Y Y por Golub_Srecko, Adventure10 Sea $\overline{abcd}$ uno de los 9999 números $0001, 0002, 0003, \ldots, 9998, 9999$. Sea $\overline{abcd}$ un número especial si $ab-cd$ y $ab+cd$ son cuadrados perfectos, $ab-cd$ divide a $ab+cd$ y además $ab+cd$ divide a $abcd$. Por ejemplo, 2016 es especial. Encuentre todos los números especiales $\overline{abcd}$. Nota: Si $\overline{abcd}=0206$, entonces $ab=02$ y $cd=06$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Siddharth03 179 publicaciones Siddharth03 #1 h 1 de junio de 2024, 12:58 PM • 4 Y Y por Rijul saini, GeoKing, Shayanhas, mxsail Hay $n > 1$ puntos distintos marcados en el plano. Demuestre que existe un conjunto de círculos $\mathcal C$ tal que: $\bullet$ Cada círculo en $\mathcal C$ tiene radio unitario. $\bullet$ Cada punto marcado se encuentra en el interior (estricto) de algún círculo en $\mathcal C$. $\bullet$ Hay menos de $0.3n$ pares de círculos en $\mathcal C$ que se intersecan en exactamente $2$ puntos. Nota: Resultados más débiles con $\it{0.3n}$ reemplazado por $\it{cn}$ pueden ser puntuados dependiendo del valor de la constante $\it{c > 0.3}$. Propuesto por Siddharth Choppara, Archit Manas, Ananda Bhaduri, Manu Param Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Siddharth03 179 publicaciones Siddharth03 #1 h 1 de junio de 2024, 12:56 PM • 1 Y Y por mxsail Demuestre que existe una función $f : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisface lo siguiente: ___ 1. Para todos los enteros positivos $m, n$ tenemos \[\gcd(|f(m)-f(n)|, f(mn)) = f(\gcd(m, n))\] ___ 2. Para todos los enteros positivos $m$, tenemos $f(f(m)) = f(m)$. ___ 3. Para todos los enteros positivos $k$, existe un entero positivo $n$ tal que $2024^{k} \mid f(n)$. Propuesto por MV Adhitya, Archit Manas Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Siddharth03 179 publicaciones Siddharth03 #1 h 1 de junio de 2024, 12:55 PM • 4 Y Y por GeoKing, Rijul saini, SatisfiedMagma, mxsail Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y $\angle BAC = 60^{\circ}$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a la recta $BC$ y al circuncírculo del $\triangle ABC$ en los puntos $M$ y $L$ respectivamente. Sea $K$ la reflexión de $BL\cap AC$ sobre la recta $BC$. Sea $D$ un punto en la recta $CO$ tal que $DM$ sea perpendicular a $KL$. Demuestre que los puntos $K,A,D$ son colineales. Propuesto por Sanjana Philo Chacko Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Siddharth03, 1 de junio de 2024, 1:05 PM Z K Y