La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:34 a. m. • 3 Y Y por mihaig, Adventure10, Mango247 Sea $x_n = \sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}.$ Demuestre que \[x_{n+1}-x_n <\frac{1}{n!} \quad n=2,3,\cdots\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 24 de mayo de 2007, 8:05 AM • 1 Y Y por Adventure10 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}, \] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden utilizarse sin demostración. Las coordenadas de todos los vértices de un rectángulo dado son números de Fibonacci. Suponga que el rectángulo no es tal que uno de sus vértices esté sobre el eje $x$ y otro sobre el eje $y$. Demuestre que los lados del rectángulo son paralelos a los ejes o forman un ángulo de $45^{\circ}$ con los ejes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por darij grinberg, 16 de diciembre de 2011, 12:45 PM Razón: 45^0 = 1. 45^{\circ} es lo que usted desea. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 779 publicaciones BR1F1SZ #1 h 25 de mar. de 2025, 6:57 p. m. Y por En un cuadrilátero convexo $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ son iguales y se intersecan en $E$. Las mediatrices de $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $P$ que yace dentro del triángulo $AED$, y las mediatrices de $BC$ y $DA$ se intersecan en el punto $Q$ que yace dentro del triángulo $CED$. Demuestre que $\angle PEQ = 90^\circ$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 20 de julio de 2008, 4:44 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 100 cuadrados unitarios de un plano cuadriculado infinito forman un cuadrado de $ 10\times 10$. Los segmentos unitarios que forman estos cuadrados están coloreados con varios colores. Se sabe que el borde de cada cuadrado con lados sobre las líneas de la cuadrícula contiene segmentos de, como máximo, dos colores. (Dicho cuadrado no está necesariamente contenido en el cuadrado original de $ 10\times 10$.) ¿Cuál es el número máximo de colores que pueden aparecer en esta coloración? Autor: S. Berlov Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 7:16 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $A$ un conjunto de $n$ puntos en el espacio. De la familia de todos los segmentos con extremos en $A$, se han seleccionado $q$ segmentos y se han coloreado de amarillo. Suponga que todos los segmentos amarillos tienen longitudes diferentes. Demuestre que existe una línea poligonal compuesta por $m$ segmentos amarillos, donde $m \geq \frac{2q}{n}$, dispuestos en orden de longitud creciente. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jbaca 225 publicaciones jbaca #1 h 19 de junio de 2019, 11:09 PM • 1 Y Y por Adventure10 Tenemos un polígono regular $P$ con 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores, Azul y Rojo, juegan por turnos alternativamente, comenzando con Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de azul, luego Rojo selecciona un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de rojo, de modo que los triángulos formados en cada movimiento no se intersecten internamente con los triángulos coloreados anteriormente. Continúan jugando hasta que no sea posible elegir otro triángulo para colorear. Luego, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes a ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados de azul o rojo incidentes al vértice son iguales, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se elimina). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana el juego. Encuentre una estrategia ganadora para uno de los jugadores. Nota. Dos triángulos pueden compartir vértices o lados. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shivangjindal 676 publicaciones shivangjindal #1 h 4 de mayo de 2014, 8:05 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero positivo. Un hexágono regular con longitud de lado $n$ se divide en triángulos equiláteros con longitud de lado $1$ mediante líneas paralelas a sus lados. Encuentre el número de hexágonos regulares cuyos vértices se encuentren todos entre los vértices de dichos triángulos equiláteros. UK - Sahl Khan Z K Y

Sea $ n $ un entero positivo con al menos $ 6 $ divisores positivos. Sean $ d_1<d_2<d_3<d_4<d_5 $ los $ 5 $ divisores positivos más pequeños de $ n $ distintos de $ 1 $. Encuentre todos los $ n $ tales que $ d_1+d_2=d_3 $ y $ d_1+d_3=d_5 $.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de sep. de 2025, 3:41 p. m. Y por Dado un entero positivo $n$. En la pizarra se dibuja una cuadrícula triangular de color rojo: esta cuadrícula es el triángulo equilátero de lado $n$ dividido en pequeños triángulos equiláteros de lado $1$ (ver figura). Se permite el siguiente movimiento: tres segmentos rojos de longitud $1$ que forman un zigzag (ver figura) se vuelven a pintar simultáneamente de azul (el zigzag puede rotarse y voltearse, es decir, puede colocarse de cualquier manera). Encuentre el número máximo de movimientos que se pueden realizar. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/4/33a0e14dc2f074688feb2e7ad343162bf87893.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 29 de sep. de 2025, 3:41 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orthocentre 72 publicaciones orthocentre #1 h 10 de julio de 2018, 6:16 a. m. • 19 Y Y por Durjoy1729, Moaaz, Carpemath, Davi-8191, anantmudgal09, Davrbek, Amir Hossein, yayitsme, OlympusHero, megarnie, KhongMinh, Lamboreghini, Adventure10, Mango247, DroneChaudhary, lian_the_noob12, deplasmanyollari, cubres, Rounak_iitr Un sitio es cualquier punto $(x, y)$ en el plano tal que $x$ e $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales a 20. Inicialmente, cada uno de los 400 sitios está desocupado. Amy y Ben se turnan para colocar piedras, comenzando Amy. En su turno, Amy coloca una nueva piedra roja en un sitio desocupado tal que la distancia entre cualesquiera dos sitios ocupados por piedras rojas no sea igual a $\sqrt{5}$. En su turno, Ben coloca una nueva piedra azul en cualquier sitio desocupado. (Se permite que un sitio ocupado por una piedra azul esté a cualquier distancia de cualquier otro sitio ocupado). Se detienen tan pronto como un jugador no pueda colocar una piedra. Encuentre el mayor $K$ tal que Amy pueda asegurar que coloca al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Ben coloque sus piedras azules. Propuesto por Gurgen Asatryan, Armenia Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por djmathman, 15 de junio de 2020, 11:03 p. m. Razón: autor del problema Z K Y