Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que: i. $A\cup B$ es el conjunto de los enteros positivos. ii. $A\cap B$ es vacío. iii. Si dos enteros positivos tienen como diferencia a un primo mayor que $2013$, entonces uno de ellos está en $A$ y el otro en $B$. Hallar todas las posibilidades para los conjuntos $A$ y $B$.

Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama canalero si para cualesquiera tres números $a,b,c\in S$, todos diferentes, se cumple que $a$ divide a $bc$, $b$ divide a $ca$ y $c$ divide a $ab$. a. Demuestra que, para cualquier conjunto finito de enteros positivos $\{c_1,c_2,\ldots, c_n\}$, existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el conjunto $\{kc_1,kc_2,\ldots, kc_n\}$ es canalero. b. Demuestra que, para cualquier entero $n\geq 3$, existe un conjunto canalero que tiene exactamente $n$ elementos y ningún entero mayor que $1$ divide a todos sus elementos.

Un entero positivo $n$ es inverosímil si existen $n$ enteros no necesariamente distintos tales que la suma y producto de estos enteros sean iguales a $n$. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a $2022$ son inverosímiles?

Se tiene un montón con $2022$ piedras. Ana y Beto juegan por turnos al siguiente juego, comenzando por Ana: en cada turno si hay $n$ piedras en el montón, se pueden retirar $S(n)$ piedras o $n-S(n)$ piedras, donde $S(n)$ es la suma de los digitos de $n$. La persona que retire la última piedra gana. Determine cuál de las dos personas tiene una estrategia ganadora y cuál es.

Sean $a,b,c,d$ números enteros positivos tales que $a-b+c-d$ es impar y divide a $a^2-b^2+c^2-d^2$. Demuestra que $a-b+c-d$ divide a $a^n-b^n+c^n-d^n$ para todo entero positivo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la paralela a $BC$ por $A$ con las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$, respectivamente. La perpendicular a $BP$ por $P$ y la perpendicular a $CQ$ por $Q$ se intersecan en $R$. Si $I$ es el incentro de $ABC$, muestra que $AI=AR$.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita con los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Supon que $C_1,C_2,C_3$ son circunferencias con cuerdas $YZ$, $ZX$, $XY$, respectivamente, tales que $C_1$ y $C_2$ se corten sobre la recta $CZ$ y que $C_1$ y $C_3$ se corten sobre la recta $BY$. Supon que $C_1$ corta a las cuerdas $XY$ y $ZX$ en $J$ y $M$, respectivamente; que $C_2$ corta a las cuerdas $YZ$ y $XY$ en $L$ e $I$, respectivamente; y que $C_3$ corta a las cuerdas $YZ$ y $ZX$ en $K$ y $N$ respectivamente. Demuestra que $I,J,K,L,M,N$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $n$ un entero positivo. Dado un conjunto $\{a_1,a_2,\ldots a_n\}$ de enteros entre $0$ y $2^n-1$ inclusive, a cada uno de sus $2^n$ subconjuntos se les asigna la suma de sus elementos; en particular, el subconjunto vacío tiene suma $0$. Si estas $2^n$ sumas dejan distintos residuos al dividirlas entre $2^n$, se dice que el conjunto $\{a_1,a_2,\ldots, a_n\}$ es $n$-completo. Determinar, para cada $n$, la cantidad de conjuntos $n$-completos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC\neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demuestra que $Q$ es el ortocentro de $ABC$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen tres números enteros no nulos $x,y,z$ tales que $$x+y+z=0, \hspace{2mm} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{n}$$