En la pizarra está escrito el número $2$. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene al aplicar exactamente una de las siguientes operaciones: multiplicarlo por $2$, o multiplicarlo por $3$, o sumarle $1$. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a $2011$ gana. Halla cuál de los dos tiene una estrategia ganadora y describe dicha estrategia.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$. Sean $I$ el incentro de $ABC$ y $P$ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A$ con el circuncírculo de $ABC$. La recta $PI$ interseca por segunda vez al circuncírculo de $ABC$ en el punto $J$. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.

Sean $k$ y $n$ enteros positivos, con $g\geq 2$. En una línea recta se tienen $kn$ piedras de $k$ colores diferentes de tal forma que hay $n$ piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo $m$ tal que siempre es posible lograr, con a lo sumo $m$ pasos, que las $n$ piedras de cada color queden seguidas si: a. $n$ es par, b. $n$ es impar y $k=3$.

Las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números enteros positivos distintos son números enteros. Hallar el menor valor posible para la media aritmética.

Se distribuyeron los números $1,2,3\ldots, 2008^2$ en un tablero de $2018\times 2018$, de modo que en cada casilla haya un número distinto. Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea $S$ la suma de los $4016$ números obtenidos. Determine el mayor valor posible de $S$.

La sucesión $a_n$ está definida por $a_1=1$, $a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$. Demuestra que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esta sucesión.

Sean $m$ y $n$ enteros tales que el polinomio $P(x)=x^3+mx+n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ e $y$ son enteros y $107$ divide a $P(x)-P(y)$, entonces $107$ divide a $x-y$. Demuestra que $107$ divide a $m$.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$ con el mismo radio, que se cortan en $A$ y $B$. Sea $P$ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C$, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D$ y la bisectriz de $\angle CAD$ interseca a $C_1$ en $E$ y a $C_2$ en $L$. Sea $F$ el punto simétrico a $D$ con respecto al punto medio de $PE$. Demuestra que existe un punto $X$ que satisface $\angle XFL=\angle XCD=30^\circ$ y $CX=O_1O_2$.

Para cada entero positivo $n$ se define $a_n=n+m$ donde $m$ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.

En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro personas cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. ¿Para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características?