040 Dado un triángulo isósceles. Encuentre el conjunto de puntos dentro del triángulo tales que la distancia desde dicho punto a la base sea igual a la media geométrica de las distancias a los lados.

11 Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $(n^2 + 11n - 4) \cdot n! + 33 \cdot 13^n + 4$ sea un cuadrado perfecto

142 Todos los números naturales que contienen no más de $n$ dígitos se dividen en dos grupos. El primero contiene los números con una suma de dígitos par, el segundo, con una suma de dígitos impar. Demuestre que si $0<k<n$, entonces la suma de las $k$-ésimas potencias de los números en el primer grupo es igual a la suma de las $k$-ésimas potencias de los números en el segundo grupo.

102 Demuestre que se puede representar un número arbitrario que no exceda a $n!$ como una suma de $k$ números distintos ($k\le n$) que sean divisores de $n!$.

124 Dado un pentágono con todos sus lados iguales. a) Demuestre que existe un punto en la diagonal máxima tal que cada lado se ve desde él bajo un ángulo recto (el lado $AB$ se ve desde el punto $C$ bajo un ángulo arbitrario que es mayor o igual que $\angle ACB$). b) Demuestre que los círculos construidos sobre sus lados como diámetros no pueden cubrir el pentágono por completo.

091 "KING-THE SUICIDER" Dado un tablero de ajedrez de $1000\times 1000$, $499$ torres blancas y un rey negro. Demuestre que no importa ni la situación inicial ni la forma en que jueguen las blancas, el rey siempre puede ponerse en jaque en un número finito de movimientos.

13 Sean $a_0, a_1, ... , a_n$ tales que $a_0=a_n = 0$ y $a_{k-1} - 2a_k+a_{k+1}\ge 0$ para $k=1, ... , n-1$. Demuestre que todos los números son negativos o cero.

3 Considere una tabla con un número real en cada celda. En un paso, uno puede cambiar el signo de los números en una fila o en una columna simultáneamente. Demuestre que se puede obtener una tabla con sumas no negativas en cada fila y en cada columna.

019 Dados cuatro números positivos $a,b,c,d$, y sabiendo que $abcd=1$, demuestre que $$a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+dc \ge 10$$

141 Todos los números de $5$ dígitos desde $11111$ hasta $99999$ están escritos en tarjetas. Dichas tarjetas se colocan en una fila en un orden arbitrario. Demuestre que el número de $444445$ dígitos resultante no es una potencia de dos.