Demuestre que hay infinitamente muchos enteros positivos $m$ para los cuales existen enteros positivos impares consecutivos $p_m<q_m$ tales que $p_m^2+p_mq_m+q_m^2$ y $p_m^2+m\cdot p_mq_m+q_m^2$ son ambos cuadrados perfectos. Si $m_1, m_2$ son dos enteros positivos satisfaciendo esta condición, entonces tenemos $p_{m_1}\neq p_{m_2}$

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ tales que $f(x+y)+xy=f(x)f(y)$ para todos los reales $x, y$

Sea $ABC$ un triángulo. Sea $\Omega$ el punto de Brocard. Demuestre que $\left(\frac{A\Omega}{BC}\right)^2+\left(\frac{B\Omega}{AC}\right)^2+\left(\frac{C\Omega}{AB}\right)^2\ge 1$

Sea $A=(a_{jk})$ un arreglo de $10\times 10$ de números reales positivos tales que la suma de los números en cada fila así como en cada columna es $1$. Muestre que existe $j<k$ y $l<m$ tal que \\[a_{jl}a_{km}+a_{jm}a_{kl}\ge \frac{1}{50}\]

Llame a un entero positivo bueno si ya sea $N=1$ o $N$ puede ser escrito como producto de un número par de números primos, no necesariamente distintos. Sea $P(x)=(x-a)(x-b),$ donde $a,b$ son enteros positivos. (a) Muestre que existen distintos enteros positivos $a,b$ tales que $P(1),P(2),\cdots ,P(2010)$ son todos números buenos. (b) Suponga que $a,b$ son tales que $P(n)$ es un número bueno para todo entero positivo $n$. Demuestre que $a=b$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $E$ el punto de intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$. Suponga que $AD$ y $BC$ se encuentran en $F$. Sean los puntos medios de $AB$ y $CD$ sean $G$ y $H$ respectivamente. Si $\Gamma $ es la circunferencia circunscrita del triángulo $EGH$, demuestre que $FE$ es tangente a $\Gamma $ .

Sea $n\ge 2$ un entero dado. Demuestre que el número de cadenas de longitud $n$ consistiendo de $0'$s y $1'$s tales que hay igual número de bloques $00$ y $11$ en cada cadena es igual a \\[2\binom{n-2}{\left \lfloor \frac{n-2}{2}\right \rfloor}\]

Dado un entero $k>1$, muestre que existe un entero $n>1$ y distintos enteros positivos $a_1,a_2,\cdots a_n$, todos mayores que $1$, tales que las sumas $\sum_{j=1}^n a_j$ y $\sum_{j=1}^n \phi (a_j)$ son ambas potencias $k$ -ésimas de algunos enteros. (Aquí $\phi (m)$ denota el número de enteros positivos menores que $m$ y relativamente primos a $m$. )

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ca\le 3abc$. Demuestre que \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\le \sqrt{2} (\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\]

Para cualquier entero $n\ge 2$, sea $N(n)$ el número máximo de triples $(a_j,b_j,c_j),j=1,2,3,\cdots ,N(n),$ consistiendo de enteros no negativos $a_j,b_j,c_j$ (no necesariamente distintos) tales que las siguientes dos condiciones se satisfacen: (a) $a_j+b_j+c_j=n,$ para todo $j=1,2,3,\cdots N(n)$ ; (b) Si $j\neq k$, entonces $a_j\neq a_k$, $b_j\neq b_k$ y $c_j\neq c_k$. Determine $N(n)$ para todo $n\ge 2$.