Dos polinomios $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ y $Q(x)=x^2+px+q$ tienen coeficientes reales, e $I$ es un intervalo en la recta real de longitud mayor que $2$. Suponga que $P(x)$ y $Q(x)$ toman valores negativos en $I$, y toman valores no negativos fuera de $I$. Demuestre que existe un número real $x_0$ tal que $P(x_0)<Q(x_0)$.

Sea $ABC$ un triángulo en el cual $BC<AC$. Sea $M$ el punto medio de $AB$, $AP$ la altura desde $A$ sobre $BC$, y $BQ$ la altura desde $B$ sobre $AC$. Suponga que $QP$ extendido se encuentra con $AB$ (extendido) en $T$. Si $H$ es el ortocentro de $ABC$, demuestre que $TH$ es perpendicular a $CM$.

Sea $\mathbb N$ denote el conjunto de todos los números naturales. Demuestre que existen dos subconjuntos no vacíos $A$ y $B$ de $\mathbb N$ tales que $A\cap B=\{1\};$ todo número en $\mathbb N$ puede ser expresado como el producto de un número en $A$ y un número en $B$ ; cada número primo es un divisor de algún número en $A$ y también algún número en $B$ ; uno de los conjuntos $A$ y $B$ tiene la siguiente propiedad: si los números en este conjunto se escriben como $x_1<x_2<x_3<\cdots$ , entonces para cualquier entero positivo dado $M$ existe $k\in \mathbb N$ tal que $x_{k+1}-x_k\ge M$ . Cada conjunto tiene infinitos números compuestos.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f\left(x^3+f(y)\right)=x^2f(x)+y,$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}.$ (Aquí $\mathbb{R}$ denota el conjunto de todos los números reales.)

Sea $ABC$ un triángulo agudo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Sean $A_1,B_1$ y $C_1$ respectivamente los puntos medios de los arcos $BAC,CBA$ y $ACB$ de $\Gamma$ . Demuestre que el inradio del triángulo $A_1B_1C_1$ no es menor que el inradio del triángulo $ABC$ .

Sea $\mathbb N$ denote el conjunto de todos los números naturales. Demuestre que existen dos subconjuntos no vacíos $A$ y $B$ de $\mathbb N$ tales que $A\cap B=\{1\};$ todo número en $\mathbb N$ puede ser expresado como el producto de un número en $A$ y un número en $B$ ; cada número primo es un divisor de algún número en $A$ y también algún número en $B$ ; uno de los conjuntos $A$ y $B$ tiene la siguiente propiedad: si los números en este conjunto se escriben como $x_1<x_2<x_3<\cdots$ , entonces para cualquier entero positivo dado $M$ existe $k\in \mathbb N$ tal que $x_{k+1}-x_k\ge M$ . Cada conjunto tiene infinitos números compuestos.

Suponga que una secuencia $a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos satisface $$a_{k+1}\geq\frac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}$$ para cada entero positivo $k$ . Demuestre que $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ para cada $n\geq2$ .

Decimos que un número natural $n$ es perfecto si la suma de todos los divisores positivos de $n$ es igual a $2n$ . Por ejemplo, $6$ es perfecto ya que sus divisores positivos $1,2,3,6$ suman $12=2\times 6$ . Demuestre que un número perfecto impar tiene al menos $3$ divisores primos distintos. Nota: Todavía no se sabe si existen números perfectos impares. Así que asuma que tal número existe y pruebe el resultado.

Un disco circular está dividido en $12$ sectores iguales y se utiliza uno de $6$ colores diferentes para colorear cada sector. No puede haber dos sectores adyacentes con el mismo color. Encuentra el número de tales coloraciones distintas posibles.

El perímetro de $\triangle ABC$ es $2$ y sus lados son $BC=a, CA=b,AB=c$ . Demuestra que $$abc+\frac{1}{27}\ge ab+bc+ca-1\ge abc. $$