Considere todos los números de $7$ dígitos formados por los dígitos $1,2 , 3,...,7$ y cada dígito se usa exactamente una vez en todos los $7!$ números. Demuestre que no hay dos de ellos que tengan la propiedad de que uno divide al otro.

Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle BPC = \angle CPA =\angle APB = 120^o$. Demuestre que las líneas de Euler de los triángulos $APB,BPC,CPA$ son concurrentes.

Sean $A_1,A_2,...,A_n$ $n$ subconjuntos finitos de un conjunto $X, n \ge 2$, tales que (i) $|A_i| \ge 2, 1 \le i \le n$, (ii) $ |A_i \cap A_j | \ne 1, j \le i < j \le n$. Demuestre que los elementos de $A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n$ pueden colorearse con $2$ colores de modo que ningún $A_i$ esté coloreado por el mismo color.

Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos tales que $a^{2007} = a + 1$ y $b^{4014} = b + 3a$. Determine si $a > b$ o $b > a$.

Sean $a, b, c$ enteros no nulos tales que $M = \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ y $N =\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$ son ambos enteros. Encuentre $M$ y $N$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto dentro del triángulo tal que $\angle PAB =\angle PBC$. Demuestre que $\angle APM + \angle BPC = 180^o$.

Defina la distancia entre dos números de $5$ dígitos $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ y $\overline{b_1b_2b_3b_4b_5}$ como el entero más grande $j$ tal que $a_j \ne b_j$. (Ejemplo: la distancia entre $16523$ y $16452$ es $5$.) Suponga que todos los números de $5$ dígitos están escritos en una línea en algún orden. ¿Cuál es la suma mínima posible de las distancias de los números adyacentes en ese orden escrito?

Hay $N$ puntos en el plano tales que el número total de distancias por pares de estos $N$ puntos es a lo sumo $n$. Demuestre que $N \le (n + 1)^2$.

Sean $BE$ y $CF$ las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ de un triángulo $ABC$ cuyo incentro es $I$. Suponga que $EF$, extendido, se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $M,N$. Demuestre que el circunradio de $MIN$ es el doble que el de $ABC$.

Suponga que $n$ es un número natural tal que $4^n + 2^n + 1$ es un primo. Demuestre que $n = 3^k$ para algún entero no negativo $k$.