Sea $N$ un entero mayor que $1$ y sea $T_n$ el número de subconjuntos no vacíos $S$ de $\{1,2,.....,n\}$ con la propiedad de que el promedio de los elementos de $S$ es un entero. Pruebe que $T_n - n$ es siempre par.

Sean $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ tal que $a \ge b \ge c \ge d $ . Demuestra que la ecuación $x^4 - ax^3 - bx^2 - cx -d = 0$ no tiene solución entera.

Encuentra todos los $m,n\in\mathbb N$ y primos $p\geq 5$ que satisfacen \[m(4m^2+m+12)=3(p^n-1).\]

Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $R.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2,$ respectivamente. Sea $\ell_1$ una recta tangente a $\Gamma_2$ en $P$ y que pasa por $O_1,$ y sea $\ell_2$ la recta tangente a $\Gamma_1$ en $Q$ y que pasa por $O_2.$ Sea $K=\ell_1\cap \ell_2.$ Si $KP=KQ$ entonces prueba que el triángulo $PQR$ es equilátero.

Prueba que: (a) $ 5<\sqrt {5}+\sqrt [3]{5}+\sqrt [4]{5}$ (b) $ 8>\sqrt {8}+\sqrt [3]{8}+\sqrt [4]{8}$ (c) $ n>\sqrt {n}+\sqrt [3]{n}+\sqrt [4]{n}$ para todos los enteros $ n\geq 9 .$

Un trapecio $ ABCD$ , en el que $ AB$ es paralelo a $ CD$ , está inscrito en un círculo con centro $ O$ . Suponga que las diagonales $ AC$ y $ BD$ del trapecio se intersecan en $ M$ , y $ OM = 2$ . (a) Si $ \angle AMB$ es $ 60^\circ ,$ encuentre, con prueba, la diferencia entre las longitudes de los lados paralelos. (b) Si $ \angle AMD$ es $ 60^\circ ,$ encuentre, con prueba, la diferencia entre las longitudes de los lados paralelos.

¿Cuántos números de 6 dígitos hay tales que-: \na) Los dígitos de cada número son todos del conjunto $ \{1,2,3,4,5\}$ \nb) cualquier dígito que aparezca en el número aparece al menos dos veces? (Ejemplo: $ 225252$ es válido mientras que $ 222133$ no lo es)

Encuentre todos los pares $ (a, b)$ de números reales tales que siempre que $ \alpha$ sea una raíz de $ x^{2} + ax + b = 0$ , $ \alpha^{2} - 2$ también es una raíz de la ecuación.

Sean $ a, b, c$ tres números naturales tales que $ a < b < c$ y $ gcd (c - a, c - b) = 1$ . Suponga que existe un entero $ d$ tal que $ a + d, b + d, c + d$ forman los lados de un triángulo rectángulo. Pruebe que existen enteros, $ l,m$ tales que $ c + d = l^{2} + m^{2} .$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo; $ AD$ la bisectriz de $ \angle BAC$ con $ D$ en $ BC$ ; y $ BE$ la altura desde $ B$ sobre $ AC$ . Demuestra que $ \angle CED > 45^\circ .$