Sea $S$ un conjunto de números reales con media $M$. Si las medias de los conjuntos $S\cup \{15\}$ y $S\cup \{15,1\}$ son $M + 2$ y $M + 1$ , respectivamente, entonces, ¿cuántos elementos tiene $S$?

Si $x^{x^4}=4 $ ¿cuál es el valor de $x^{x^2}+x^{x^8} $ ?

¿Cuál es el número natural $n$ más pequeño posible para el cual la ecuación $x^2 -nx + 2014 = 0$ tiene raíces enteras?

Si los números reales $a, b, c, d, e$ satisfacen $a + 1 = b + 2 = c + 3 = d + 4 = e + 5 = a + b + c + d + e + 3$, ¿cuál es el valor de $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$?

En un triángulo con longitudes de lado enteras, un lado es tres veces más largo que un segundo lado, y la longitud del tercer lado es $17$. ¿Cuál es el mayor perímetro posible del triángulo?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con diagonales perpendiculares. Si $AB = 20, BC = 70$ y $CD = 90$, ¿cuál es el valor de $DA$?

El primer término de una secuencia es $2014$. Cada término subsiguiente es la suma de los cubos de los dígitos del término anterior. ¿Cuál es el término número $2014$ de la secuencia?

Un número natural $k$ es tal que $k^2 < 2014 < (k +1)^2$. ¿Cuál es el factor primo más grande de $k$?

Sean $a,b,c,x,y,z$ seis números reales positivos que satisfacen $x+y+z=a+b+c$ y $xyz=abc.$ Además, suponga que $a\leq x<y<z\leq c$ y $a<b<c.$ Pruebe que $a=x,b=y$ y $c=z.$

En un triángulo acutángulo $ABC,$ sean $O,G,H$ su circuncentro, centroide y ortocentro. Sean $D\in BC, E\in CA$ y $OD\perp BC, HE\perp CA.$ Sea $F$ el punto medio de $AB.$ Si los triángulos $ODC, HEA, GFB$ tienen la misma área, encuentra todos los posibles valores de $\angle C.$