Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación \n\[\frac {x^{7} - 1}{x - 1} = y^{5} - 1.\]

Demostrar que en un triángulo no equilátero, las siguientes afirmaciones son equivalentes: \n$(a)$ Los ángulos del triángulo están en progresión aritmética.\n$(b)$ La tangente común al círculo de los nueve puntos y al incírculo es paralela a la línea de Euler.

Considere una progresión aritmética no constante $a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots$. Suponga que existen enteros positivos relativamente primos $p>1$ y $q>1$ tales que $a_1^2, a_{p+1}^2$ y $a_{q+1}^2$ son también los términos de la misma progresión aritmética. Demuestre que los términos de la progresión aritmética son todos enteros.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle B=90^{\circ}$. Sea $D$ un punto en $AC$ tal que los inradios de los triángulos $ABD$ y $CBD$ son iguales. Si este valor común es $r^{\prime}$ y si $r$ es el inradio del triángulo $ABC$, demuestre que \[ \cfrac{1}{r'}=\cfrac{1}{r}+\cfrac{1}{BD}. \]

Suponga que $2016$ puntos de la circunferencia de un círculo están coloreados de rojo y los puntos restantes están coloreados de azul. Dado cualquier número natural $n\ge 3$, demuestre que existe un polígono regular de $n$ lados todos cuyos vértices son azules.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los números naturales. Defina una función $T:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ por $T(2k)=k$ y $T(2k+1)=2k+2$. Escribimos $T^2(n)=T(T(n))$ y en general $T^k(n)=T^{k-1}(T(n))$ para cualquier $k>1$. (i) Demuestre que para cada $n\in\mathbb{N}$, existe $k$ tal que $T^k(n)=1$. (ii) Para $k\in\mathbb{N}$, sea $c_k$ el número de elementos en el conjunto $\{n: T^k(n)=1\}$. Pruebe que $c_{k+2}=c_{k+1}+c_k$, para $k\ge 1$.

Para números reales positivos $a,b,c$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones implica necesariamente $a=b=c$?: (I) $a(b^3+c^3)=b(c^3+a^3)=c(a^3+b^3)$, (II) $a(a^3+b^3)=b(b^3+c^3)=c(c^3+a^3)$? Justifique su respuesta.

Sea $ABC$ un triángulo en el que $AB=AC$. Suponga que el ortocentro del triángulo se encuentra en el incírculo. Encuentre la razón $\frac{AB}{BC}$.

En la figura adyacente, ¿se pueden colocar los números $1,2,3, 4,..., 18$, uno en cada segmento de línea, de modo que la suma de los números en los tres segmentos de línea que se encuentran en cada punto sea divisible por $3$ ?

Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Sea el incírculo de $ABC$ que toca a $BC$ en $D$ . Sea el incírculo del triángulo $ABD$ que toca a $AB$ en $E$ y el incírculo del triángulo $ACD$ que toca a $BC$ en $F$ . Demuestra que $B,E,I,F$ son concíclicos.