Suponga que $x$ es un número real no nulo tal que tanto $x^5$ como $20x+\frac{19}{x}$ son números racionales. Demuestre que $x$ es un número racional.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que satisfacen la ecuación \n\[f(x+y)+f(x)f(y)=(1+y)f(x)+(1+x)f(y)+f(xy);\]\nPara todo $x,y\in\mathbb R.$

Encuentra todas las soluciones enteras $(x,y)$ de la ecuación $y^2=x^3-p^2x,$ donde $p$ es un primo tal que $p\equiv 3 \mod 4.$

Los círculos $ w_{1}$ y $ w_{2}$ con centros $ O_{1}$ y $ O_{2}$ son tangentes externamente en el punto $ D$ y tangentes internamente a un círculo $ w$ en los puntos $ E$ y $ F$ respectivamente. La línea $ t$ es la tangente común de $ w_{1}$ y $ w_{2}$ en $ D$ . Sea $ AB$ el diámetro de $ w$ perpendicular a $ t$ , de modo que $ A, E, O_{1}$ estén en el mismo lado de $ t$ . Demuestre que las líneas $ AO_{1}$ , $ BO_{2}$ , $ EF$ y $ t$ son concurrentes.

Sea $ S$ un conjunto finito de puntos en el plano tal que no hay tres de ellos en una línea. Para cada polígono convexo $ P$ cuyos vértices están en $ S$ , sea $ a(P)$ el número de vértices de $ P$ , y sea $ b(P)$ el número de puntos de $ S$ que están fuera de $ P$ . Un segmento de línea, un punto y el conjunto vacío se consideran como polígonos convexos de $ 2$ , $ 1$ y $ 0$ vértices respectivamente. Demuestre que para todo número real $ x$ \n\[\sum_{P}{x^{a(P)}(1 - x)^{b(P)}} = 1,\]\ndonde la suma se toma sobre todos los polígonos convexos con vértices en $ S$ . Formulación alternativa : Sea $ M$ un conjunto finito de puntos en el plano y no hay tres puntos colineales. Un subconjunto $ A$ de $ M$ se llamará redondo si sus elementos son el conjunto de vértices de un convexo $ A -$ g en $ V(A).$ Para cada subconjunto redondo sea $ r(A)$ el número de puntos de $ M$ que son exteriores al convexo $ A -$ g en $ V(A).$ Los subconjuntos con $ 0,1$ y 2 elementos son siempre redondos, sus correspondientes polígonos son el conjunto vacío, un punto o un segmento, respectivamente (para los cuales todos los demás puntos que no son vértices del polígono son exteriores). Para cada subconjunto redondo $ A$ de $ M$ construya el polinomio \n\[ P_A(x) = x^{|A|}(1 - x)^{r(A)}.\n\] Muestre que la suma de polinomios para todos los subconjuntos redondos es exactamente el polinomio $ P(x) = 1.$

Una secuencia de números reales $ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots$ se define mediante la fórmula \n\[ a_{i + 1} = \left\lfloor a_{i}\right\rfloor\cdot \left\langle a_{i}\right\rangle\qquad\text{para}\quad i\geq 0;\n\] aquí $a_0$ es un número real arbitrario, $\lfloor a_i\rfloor$ denota el entero más grande que no excede a $a_i$ , y $\left\langle a_i\right\rangle=a_i-\lfloor a_i\rfloor$ . Demuestre que $a_i=a_{i+2}$ para $i$ suficientemente grande.

Dado una cadena finita $S$ de símbolos $X$ y $O$ , denotamos $\Delta(s)$ como el número de $X'$ s en $S$ menos el número de $O'$ s (Por ejemplo, $\Delta(XOOXOOX)=-1$ ) . Llamamos a una cadena $S$ equilibrada si cada subcadena $T$ de (símbolos consecutivos) $S$ tiene la propiedad $-1\leq \Delta(T)\leq 2.$ (Así, $XOOXOOX$ no está equilibrada, ya que contiene la subcadena $OOXOO$ cuyo valor $\Delta$ es $-3.$ Encuentra, con prueba, el número de cadenas equilibradas de longitud $n$ .

Sean $a,b,c$ números reales no negativos tales que $a+b\leq c+1, b+c\leq a+1$ y $c+a\leq b+1.$ Demuestre que \n\[a^2+b^2+c^2\leq 2abc+1.\]

Sea $ ABCD$ un trapecio con lados paralelos $ AB > CD$ . Los puntos $ K$ y $ L$ se encuentran en los segmentos de línea $ AB$ y $ CD$ , respectivamente, de modo que $AK/KB=DL/LC$ . Suponga que hay puntos $ P$ y $ Q$ en el segmento de línea $ KL$ que satisfacen \n\[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{y}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\]\nDemuestre que los puntos $ P$ , $ Q$ , $ B$ y $ C$ son concíclicos.

Sea $\mathbb X$ el conjunto de todas las funciones biyectivas del conjunto $S=\{1,2,\cdots, n\}$ a sí mismo. Para cada $f\in \mathbb X,$ define \n\[T_f(j)=\left\{\begin{aligned}\n1, \ \ \ & \text{if} \ \ f^{(12)}(j)=j,\\\n0, \ \ \ & \text{otherwise}\end{aligned}\right.\]\nDetermine $\sum_{f\in\mathbb X}\sum_{j=1}^nT_{f}(j).$ (Aquí $f^{(k)}(x)=f(f^{(k-1)}(x))$ para todo $k\geq 2.$ )