Para cualquier número natural $n$ , ( $n \geq 3$ ) , sea $f(n)$ denote el número de triángulos congruentes de lados enteros con perímetro $n$ . Demuestre que (i) $f(1999) > f (1996)$ ; (ii) $f(2000) = f(1997)$ .

Sean $a,b,c$ tres números reales tales que $1 \geq a \geq b \geq c \geq 0$ . pruebe que si $\lambda$ es una raíz de la ecuación cúbica $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (real o compleja), entonces $| \lambda | \leq 1.$

En un cuadrilátero convexo $PQRS$ , $PQ =RS$ , $(\sqrt{3} +1 )QR = SP$ y $\angle RSP - \angle SQP = 30^{\circ}$ . Pruebe que $\angle PQR - \angle QRS = 90^{\circ}.$

Si $a,b,c,x$ son números reales tales que $abc \not= 0$ y \[ \frac{xb + (1-x)c}{a} = \frac{xc + (1-x)a}{b} = \frac{xa + (1-x) b }{c}, \] entonces pruebe que $a = b = c$ .

Resuelva para enteros $x,y,z$ : \[ \{ \begin{array}{ccc} x + y &=& 1 - z \ x^3 + y^3 &=& 1 - z^2 . \end{array} \]

El incírculo de $ABC$ toca a $BC$ , $CA$ , $AB$ en $K$ , $L$ , $M$ respectivamente. La línea que pasa por $A$ paralela a $LK$ se encuentra con $MK$ en $P$ , y la línea que pasa por $A$ paralela a $MK$ se encuentra con $LK$ en $Q$ . Demuestra que la línea $PQ$ biseca a $AB$ y biseca a $AC$ .

Sea $X$ un conjunto de $11$ enteros. Pruebe que uno puede encontrar un subconjunto no vacío $\{a_1, a_2, \cdots , a_k \}$ de $X$ tal que $3$ divide a $k$ y $9$ divide a la suma $\sum_{i=1}^{k} 4^i a_i$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC = 20^{\circ}$ y $\angle ACB = 40^{\circ}$ . Sea $D$ un punto en $BC$ tal que $\angle BAD = \angle DAC$ . Sea el incírculo del triángulo $ABC$ toca a $BC$ en $E$ . Pruebe que $BD = 2 \cdot CE$ .

Sea $n>1$ un entero positivo. Llame a una reordenación $a_1,a_2, \cdots , a_n$ de $1,2, \cdots , n$ 'agradable' si para cada $k = 2 ,3, \cdots , n$ , tenemos que $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_k^2$ no es divisible por $k$ . Determine qué enteros positivos $n>1$ tienen una disposición 'agradable'.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Suponga que $D$ es el punto en $BC$ tal que $BD+DC = 1:3$ . Sea la bisectriz perpendicular de $AD$ que interseca a $AB,AC$ en $E,F$ respectivamente. Pruebe que $49 \cdot [BDE] = 25 \cdot [CDF]$ , donde $[XYZ]$ denota el área del triángulo $XYZ$ .