Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\{0, 1\}$. Suponga que $a, b$ son enteros no nulos tales que para cada $f \in \mathcal{P}$ con $f(a)\neq 0$, tenemos $f(a) \mid f(b)$. Demuestre que $a=b$.

Alicia y Bob juegan un juego. Inicialmente, escriben el par $(1012,1012)$ en el tablero. Alternan sus turnos, comenzando Alicia. En cada turno, el jugador puede cambiar el par $(a,b)$ a $(a-2, b+1), (a+1, b-2)$ o $(a-1, b)$ siempre que el par resultante tenga solo valores no negativos. El juego termina cuando no hay movimientos legales posibles. Alicia gana si el juego termina en $(0,0)$ y Bob gana si el juego termina en $(0,1)$. Determinar quién tiene la estrategia ganadora?

Sea $n$ cualquier entero positivo, y sea $S(n)$ denota el número de permutaciones $\tau$ de $\{1,\dots,n\}$ tal que $k^4+(\tau(k))^4$ es primo para todo $k=1,\dots,n$. Demuestre que $S(n)$ es siempre un cuadrado.

Sea $\mathbb R^+$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ que satisfacen $$f(x+y^2f(x^2))=f(xy)^2+f(x)$$ para todos $x,y \in \mathbb{R}^+$.

Los números $1,2,3,4,\ldots , 39$ están escritos en una pizarra. En un paso se nos permite elegir dos números $a$ y $b$ en la pizarra tales que $a$ divide a $b$, y reemplazar $a$ y $b$ por el único número $\tfrac{b}{a}$. Este proceso se continúa hasta que ningún número en la pizarra divide a otro número. Sea $S$ el conjunto de números que quedan en la pizarra al final. ¿Cuál es el valor posible más pequeño de $|S|$?

Pruebe que para todos los enteros $k>2$, existen $k$ enteros positivos distintos $a_1, \dots, a_k$ tales que $$\sum_{1 \le i<j \le k} \frac{1}{a_ia_j} =1.$$

Para un entero positivo $k$, sea $s(k)$ la suma de los dígitos de $k$. Demuestre que hay infinitos números naturales $n$ tales que $s(2^n) > s(2^{n+1})$.

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ el pie de la $A-$ altitud. Los puntos $P, Q$ se eligen en $BC$ tal que $DP = DQ = DA$. Suponga que $AP$ y $AQ$ intersecan el circuncírculo de $ABC$ nuevamente en $X$ y $Y$. Pruebe que las bisectrices perpendiculares de las líneas $PX$, $QY$ y $BC$ son concurrentes.

Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$ considere su factorización prima: defina $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes correspondientes sólo a los primos en $Q$. Un entero positivo $n$ se llama especial si $p(n)+p(n+1)$ y $q(n)+q(n+1)$ son ambos enteros pares. Pruebe que existe una constante $c>0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N>100$, el número de enteros especiales en $[1,N]$ es al menos $cN$. (Por ejemplo, si $Q=\{3,7\}$, entonces $p(42)=3$, $q(42)=2$, $p(63)=3$, $q(63)=3$, $p(2022)=3$, $q(2022)=1$. )

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para cada $x,y\in\mathbb R$ Encuentre todos los números racionales $q$ tales que para cada función $f\in\mathcal F$, existe algún $z\in\mathbb R$ que satisface $f(z)=qz$.