Determine todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $2a+1$ y $2b-1$ sean primos relativos y $a+b$ divida a $4ab+1$.

Sea $n>1$ un entero impar. Sean $P_0$ y $P_1$ dos vértices consecutivos de un polígono regular de $n$ lados. Para cada $k\geq 2$, se define como el vértice del polígono dado que se encuentra en la mediatriz de $P_{k-1}P_{k-2}$. Determina para qué valores de $n$ la sucesión $P_0,P_1,P_2\ldots$, recorre todos los vértices del polígono.

Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A$, $M$ y $N$ al variar $M$.

Sea $p$ mayor que $3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^p} = \frac{n}{m}$$ donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es $1$, demuestra que $p^3$ divide a $n$.

Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $a \nabla b$ el residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0,1,\ldots, b-1$. Encuentre todas las parejas de números $(a,p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a \nabla p) + (a \nabla 2p) + (a \nabla 3p) + (a \nabla 4p) = a + p$$

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $A_1$ un punto en el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $A_2$ y $A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $\angle BA_1A_2=\angle OAC$ y $\angle CA_1A_3=\angle OAB$. Demuestra que la recta $A_2A_3$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Dado un entero positivo $n$, en un plano se consideran $2n$ puntos alineados $A_1,A_2,\ldots, A_{2n}$. Cada punto se colorea de azul o de rojo mediante el siguiente procedimiento: En el plano se trazan $n$ circunferencias con diámetros de extremos $A_i$ y $A_j$, disjuntas dos a dos. Cada $A_k$, $1\leq k\leq 2n$, pertenece exactamente a una circunferencia. Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma circunferencia lleven el mismo color. Determine cuántas coloraciones distintas de los $2n$ puntos se pueden obtener al variar las $n$ circunferencias y la distribución de los colores.

Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes: - Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear. - De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes. Determina el número mínimo de casillas que se deben colorear.

Dado un triángulo escaleno $ABC$, se llaman $A'$, $B'$ y $C'$ a los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A$, $\angle B$ y $\angle C$ con los lados opuestos, respectivamente. Sea $A''$ la intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$, $B''$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $BB'$ y $C''$ la intersección de $AB$ con la mediatriz de $CC'$. Probar que $A''$, $B''$ y $C''$ son colineales.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que $$\mathrm{mcd}(a,n) = \mathrm{mcd}(b,n) = 1, \hspace{2mm} k=a+b.$$