Demuestre que el producto de 4 números naturales consecutivos no puede ser un cubo perfecto.

Sean $ m_1,m_2,m_3,\dots,m_n$ una reordenación de los números $ 1,2,\dots,n$ . Suponga que $ n$ es impar. Demuestre que el producto \[ \left(m_1-1\right)\left(m_2-2\right)\cdots \left(m_n-n\right)\] es un entero par.

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que $f(x +y) = f(x) f(y) f(xy)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}.$

$ABC$ es un triángulo. $M$ es el punto medio de $BC$. $\angle MAB = \angle C$, y $\angle MAC = 15^{\circ}$. Demuestre que $\angle AMC$ es obtuso. Si $O$ es el circuncentro de $ADC$, demuestre que $AOD$ es equilátero.

Demuestre que dados nueve enteros, podemos encontrar cuatro, $a, b, c, d$ tales que $a + b - c - d$ es divisible por $20$. Demuestre que esto no siempre es cierto para ocho enteros.

Si $a,b,c$ son números reales positivos tales que $abc= 1$ , Demuestre que \[ a^{b+c} b^{c+a} c^{a+b} \leq 1 . \]

Demuestre que la ecuación $x^2 + y^2 + z^2 = ( x-y)(y-z)(z-x)$ tiene infinitas soluciones en enteros $x,y,z$.

Sea $ABC$ un triángulo en el que ningún ángulo es $90^{\circ}$. Para cualquier punto $P$ en el plano del triángulo, sean $A_1, B_1, C_1$ las reflexiones de $P$ en los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Demuestre que (i) Si $P$ es el incentro o un excentro de $ABC$, entonces $P$ es el circuncentro de $A_1B_1C_1$; (ii) Si $P$ es el circuncentro de $ABC$, entonces $P$ es el ortocentro de $A_1B_1C_1$; (iii) Si $P$ es el ortocentro de $ABC$, entonces $P$ es el incentro o un excentro de $A_1B_1C_1$.

En un libro con números de página del $ 1$ al $ 100$, se arrancan algunas páginas. La suma de los números en las páginas restantes es $ 4949$ . ¿Cuántas páginas se arrancan?

Un polígono convexo es tal que la distancia entre dos vértices cualesquiera no excede de $ 1$ . $ (i)$ Demuestre que la distancia entre dos puntos cualesquiera en el límite del polígono no excede de $ 1$ . $ (ii)$ Si $ X$ e $ Y$ son dos puntos distintos dentro del polígono, demuestre que existe un punto $ Z$ en el límite del polígono tal que $ XZ + YZ\le1$