¿Para cuántos pares de enteros positivos $(x,y)$ se cumple que $x+3y=100$?

Un triángulo con perímetro $7$ tiene longitudes de lado enteras. ¿Cuál es el área máxima posible de tal triángulo?

A Rama su maestro le pidió que restara $3$ de un cierto número y luego dividiera el resultado entre $9$. En cambio, ella restó $9$ y luego dividió el resultado entre $3$. Obtuvo $43$ como respuesta. ¿Cuál debería haber sido su respuesta si hubiera resuelto el problema correctamente?

Demuestre que para un triángulo con radios de circunferencia circunscrita e inscrita iguales a $ R$ , $ r$ respectivamente, la desigualdad $ R \geq 2r$ se cumple.

Un río fluye entre dos casas $ A$ y $ B$ , las casas están a cierta distancia de las orillas. ¿Dónde se debe construir un puente sobre el río para que una persona que va de $ A$ a $ B$ , usando el puente para cruzar el río, pueda hacerlo por el camino más corto? Asuma que las orillas del río son rectas y paralelas, y que el puente debe ser perpendicular a las orillas.

Dado un ángulo $ \angle QBP$ y un punto $ L$ fuera del ángulo $ \angle QBP$ . Dibuje una línea recta a través de $ L$ que se encuentre con $ BQ$ en $ A$ y $ BP$ en $ C$ tal que el triángulo $ \triangle ABC$ tenga un perímetro dado.

Si $ a_0,a_1,\dots,a_{50}$ son los coeficientes del polinomio \[ \left(1+x+x^2\right)^{25}\] demuestre que $ a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{50}$ es par.

Demuestre que no existen números naturales distintos $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ tales que $ a^3+b^3=c^3+d^3$ y $ a+b=c+d$ .

Si $ a$ y $ b$ son positivos y $ a + b = 1$ , demuestre que \[ \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{25}{2}\]

Cinco hombres, $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ , $ E$ están usando gorras de color blanco o negro sin que cada uno sepa el color de su gorra. Se sabe que un hombre que usa una gorra negra siempre dice la verdad, mientras que los que usan una gorra blanca siempre mienten. Si hacen las siguientes declaraciones, encuentre el color usado por cada uno de ellos: $ A$ : Veo tres gorras negras y una gorra blanca. $ B$ : Veo cuatro gorras blancas $ C$ : Veo una gorra negra y tres gorras blancas $ D$ : Veo sus cuatro gorras negras.