Sea $ABC$ un triángulo en el que ningún ángulo es $90^{\circ}$. Para cualquier punto $P$ en el plano del triángulo, sean $A_1, B_1, C_1$ las reflexiones de $P$ en los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Demuestre que (i) Si $P$ es el incentro o un excentro de $ABC$, entonces $P$ es el circuncentro de $A_1B_1C_1$; (ii) Si $P$ es el circuncentro de $ABC$, entonces $P$ es el ortocentro de $A_1B_1C_1$; (iii) Si $P$ es el ortocentro de $ABC$, entonces $P$ es el incentro o un excentro de $A_1B_1C_1$.