Encuentra todos los pares de números primos $ (p,q)$ tales que $pq|5^p+5^q.$

Dado un triángulo acutángulo $PBC$ con $PB\neq PC.$ Los puntos $A,D$ se encuentran en $PB,PC,$ respectivamente. $AC$ interseca a $BD$ en el punto $O.$ Sean $E,F$ los pies de las perpendiculares desde $O$ a $AB,CD,$ respectivamente. Denotemos por $M,N$ los puntos medios de $BC,AD.$ \n\t $ (1)$ : Si cuatro puntos $A,B,C,D$ se encuentran en un círculo, entonces $EM\cdot FN = EN\cdot FM.$ \n\t $ (2)$ : Determinar si el recíproco de $ (1)$ es verdadero o no, justificar su respuesta.

¿Existen números complejos no nulos $a, b, c$ y un número natural $h$ tales que si los enteros $k, l, m$ satisfacen $|k| + |l| + |m| \geq 1996$ , entonces $|ka + lb + mc| > \frac {1}{h}$ es verdadero?

Sean $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ , y $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$ , donde $n \geq 4$ , sean 2 conjuntos de números reales tales que \[\sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 < 1 \qquad \text{y} \qquad \sum_{i=1}^{n} \beta_i^2 < 1.\] Define \begin{align*} A^2 &= 1 - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2,\\ B^2 &= 1 - \sum_{i=1}^{n} \beta_i^2,\\ W &= \frac{1}{2} (1 - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \beta_i)^2. \end{align*} Encuentra todos los números reales $\lambda$ tales que el polinomio \[x^n + \lambda (x^{n-1} + \cdots + x^3 + Wx^2 + ABx + 1) = 0,\] sólo tenga raíces reales.

3 países $A, B, C$ participan en una competencia donde cada país tiene 9 representantes. Las reglas son las siguientes: cada ronda de la competencia es entre 1 competidor de cada 2 países. El ganador juega en la siguiente ronda, mientras que el perdedor es eliminado. El país restante enviará entonces un representante para enfrentarse al ganador de la ronda anterior. La competencia comienza con $A$ y $B$ enviando un competidor cada uno. Si todos los competidores de un país han sido eliminados, la competencia continúa entre los 2 países restantes hasta que otro país sea eliminado. El equipo restante es el campeón. I. ¿Al menos cuántos juegos gana el equipo campeón? II. Si el equipo campeón ganó 11 partidos, ¿al menos cuántos partidos se jugaron?

Sea $ M = \lbrace 2, 3, 4, \ldots\, 1000 \rbrace$. Encuentra el menor $ n \in \mathbb{N}$ tal que cualquier subconjunto de $ n$ elementos de $ M$ contiene 3 subconjuntos de 4 elementos disjuntos por pares $ S, T, U$ tales que I. Para cualesquiera 2 elementos en $ S$ , el número mayor es un múltiplo del número menor. Lo mismo aplica para $ T$ y $ U$. II. Para cualesquiera $ s \in S$ y $ t \in T$ , $ (s,t) = 1$. III. Para cualesquiera $ s \in S$ y $ u \in U$ , $ (s,u) > 1$.

Sea $S$ el conjunto de funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ que satisfacen las siguientes condiciones: I. $f(1) = 2$ II. $f(n+1) \geq f(n) \geq \frac{n}{n + 1} f(2n)$ para $n = 1, 2, \ldots$ Encuentra el menor $M \in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $f \in S$ y cualquier $n \in \mathbb{N}, f(n) < M$.

Sea el lado $BC$ del $\bigtriangleup ABC$ el diámetro de una semicircunferencia que corta a $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. $F$ y $G$ son los pies de las perpendiculares desde $D$ y $E$ a $BC$ respectivamente. $DG$ y $EF$ se intersectan en $M$. Demuestra que $AM \perp BC$.

12 puntos están ubicados en un reloj con la misma distancia , los números $1,2,3 , ... 12$ están marcados en cada punto en el sentido de las agujas del reloj . Use 4 tipos de colores (rojo, amarillo, azul, verde) para colorear los puntos , cada tipo de color tiene 3 puntos . Ahora , use estos 12 puntos como el vértice del cuadrilátero convexo para construir $n$ cuadriláteros convexos . Satisfacen las siguientes condiciones: (1). Los colores de los vértices de cada cuadrilátero convexo son diferentes entre sí . (2). Para cada 3 cuadriláteros entre ellos , existe un color tal que : los números en los 3 puntos pintados en este color son diferentes entre sí . Encuentra el máximo $n$ .

La secuencia $(a_n)_{n>=1}$ satisface que : $a_1=a_2=1$ $a_n=7a_{n-1}-a_{n-2}$ ( $n>=3$ ) , prueba que : para todo entero positivo n , el número $a_n+2+a_{n+1}$ es un cuadrado perfecto .