Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen las siguientes condiciones: • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $f^n(n) = n$. • Para todo $m, n \in \mathbb{N}$, $|f(mn) - f(m)f(n)| < 2017$.

Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Demuestra que no existe una función $T : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tal que la cantidad de enteros $x$ con $T^n(x) = x$ sea igual a $P(n)$ para todo entero positivo $n$.

Sea $g(x) = (|x| + |x - 1| - 1)/2$. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que \[f^{\left(g(f(x) - x)\right)}(x) = x, \quad \forall x\in \mathbb{N}.\]

(ISL 2017) Sea $S$ un conjunto finito, y $f : S \rightarrow S$. Supongamos que $f \circ g \circ f \neq g \circ f \circ g$ para toda función $g : S \rightarrow S$ con $g \neq f$. Demuestra que $f(f(S)) = f(S)$.

Una función $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ satisface \[f^{f(n)}(n) = \frac{n^2}{ f(f(n))}\] Encuentra todos los valores posibles de $f(1000)$.

Sea $S = \{1, 2, 3, \ldots, 2021\}$ y $f : S \rightarrow S$ una función tal que $f^n(n) = n$ para cada $n \in S$. Encuentra todos los posibles valores para $f(2021)$.

Sea $f(x) = x^2 + ax - 1$ para algún número real $a$. Sasha encontró 50 raíces reales de la ecuación $f^{47}(x) = x$. Demuestra que esta ecuación tiene al menos 96 raíces reales.

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funcion biyectiva. ¿Siempre existe un conjunto infinito de funciones $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(g(x)) = g(f(x))$ para todo $x \in \mathbb{R}$?

Sea $X$ un conjunto finito, y $f : X \rightarrow X$. Supongamos que existe un primo $p$ tal que $f^p(x) = x$ para todo $x \in X$. Sea $Y = \{x \in X \,|\, f(x) \neq x\}$. Demuestra que $p \mid |Y|$.

En cada celda de un tablero de ajedrez con 2 filas y 2019 columnas se escribe un número real de tal manera que:\n• No hay dos números escritos en la primera fila que sean iguales entre sí.\n• Los números escritos en la segunda fila coinciden (en algún orden) con los números escritos en la primera fila.\n• Los dos números escritos en cada columna son diferentes y su suma es un número racional.\nDetermina la cantidad máxima de números irracionales que pueden estar en el tablero.