Encuentra todas las funciones $f,g,h: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que $f(x) - g(y) = (x-y) \cdot h(x+y)$ para $x,y \in \mathbb{R}.$

Dado un triángulo $ ABC$ con ángulo $ C \geq 60^{\circ}$ . Demuestre que: $ \left(a + b\right) \cdot \left(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c} \right) \geq 4 + \frac {1}{\sin\left(\frac {C}{2}\right)}.$

El número $a$ es tal que $\forall a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{R}$, existen enteros $k_1, k_2, k_3, k_4$ tales que $\sum_{1 \leq i < j \leq 4} ((a_i - k_i) - (a_j - k_j))^2 \leq a$. Encuentra el mínimo de $a$.

En el conjunto $S$, hay una operación $'' \circ ''$ tal que $\forall a,b \in S$, existe un único $a \circ b \in S$. Y (i) $\forall a,b,c \in S$, $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$. (ii) $a \circ b \neq b \circ a$ cuando $a \neq b$. Pruebe que: a.) $\forall a,b,c \in S$, $(a \circ b) \circ c = a \circ c$. b.) Si $S = \{1,2, \ldots, 1990\}$, intente definir una operación $'' \circ ''$ en $S$ con las propiedades anteriores.

Se colocan finitamente muchos polígonos en el plano. Si para cada dos polígonos de ellos, existe una línea que pasa por el origen $O$ que los corta a ambos, entonces estos polígonos se llaman 'colocados apropiadamente'. Encuentra el menor $m \in \mathbb{N}$, tal que para cualquier grupo de polígonos colocados apropiadamente, se pueden dibujar $m$ líneas a través de $O$ y cada polígono es cortado por al menos una de estas $m$ líneas.

En un vagón, cada $m \geq 3$ personas tienen exactamente un amigo común. (Cuando $A$ es amigo de $B$, $B$ también es amigo de $A$. Nadie es considerado su propio amigo.) Encuentra el número de amigos de la persona que tiene más amigos.

$\triangle{ABC}$ puede cubrir un polígono convexo $M$ . Demuestre que existe un triángulo que es congruente a $\triangle{ABC}$ tal que también puede cubrir $M$ y tiene una línea lateral paralela a o superpone una línea lateral de $M$ .

Dados los enteros positivos $m$ , $a$ , $b$ , $(a,b)=1$ . $A$ es un subconjunto no vacío del conjunto de todos los enteros positivos, de modo que para cada entero positivo $n$ hay $an \in A$ y $bn \in A$ . Para todos los $A$ que satisfacen la condición anterior, encuentre el mínimo del valor de $\left| A \cap \{ 1,2, \cdots,m \} \right|$

Sea $k$ un número impar que es mayor o igual que $3$ . Demuestre que existe un polinomio de grado $k^{th}$ con valores enteros y con coeficientes no enteros que tiene las siguientes propiedades: (1) $f(0)=0$ y $f(1)=1$ ; y. (2) Existen infinitos enteros positivos $n$ de modo que si la siguiente ecuación: \[ n= f(x_1)+\cdots+f(x_s), \] tiene soluciones enteras $x_1, x_2, \dots, x_s$ , entonces $s \geq 2^k-1$ .

Para un entero positivo $M$ , si existen enteros $a$ , $b$ , $c$ y $d$ de modo que: \[ M \leq a < b \leq c < d \leq M+49, \qquad ad=bc \] entonces llamamos a $M$ un número BUENO, si no entonces $M$ es MALO. Por favor, encuentre el número BUENO más grande y el número MALO más pequeño.