Olimpiada del Norte de China 2007 Problema 8
El inradio del triángulo $ ABC$ es $ 1$ y las longitudes de los lados de $ ABC$ son todos enteros. Demuestre que el triángulo $ ABC$ es rectángulo.
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Olimpiada del Norte de China 2007 Problema 7
Sea $ n$ un entero positivo y $ [ \ n ] = a.$ Encuentre el mayor entero $ n$ tal que las siguientes dos condiciones se satisfacen: $ (1)$ $ n$ no es un cuadrado perfecto; $ (2)$ $ a^{3}$ divide a $ n^{2}$ .
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Olimpiada del Norte de China 2007 Problema 6
Sea $ f$ una función dada por $ f(x) = \lg(x+1)-\frac{1}{2}\cdot\log_{3}x$ . a) Resuelva la ecuación $ f(x) = 0$ . b) Encuentre el número de subconjuntos del conjunto \[ \{n | f(n^{2}-214n-1998) \geq 0,\ n \in\mathbb{Z}\}.\]
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Olimpiada del Norte de China 2007 Problema 5
Sean $ \alpha$ , $ \beta$ ángulos agudos. Encuentre el valor máximo de \[ \frac{\left(1-\sqrt{\tan\alpha\tan\beta}\right)^{2}}{\cot\alpha+\cot\beta}\]
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Olimpiada del Norte de China 2007 Problema 4
Para cada punto en el plano, uno de $ n$ colores es coloreado tal que: $ (1)$ Cada color es usado infinitamente muchas veces. $ (2)$ Existe una línea tal que todos los puntos en esta línea son coloreados exactamente por uno de dos colores. Encuentre el menor valor de $ n$ tal que existen cuatro puntos concíclicos con colores distintos por pares.
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Olimpiada del Norte de China 2007 Problema 3
La sucesión $ \{a_{n}\}$ está definida por $ a_{1}= 2007,\, a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}+1}$ para $ n \ge 1.$ Demuestre que $ [a_{n}] =2007-n$ para $ 0 \le n \le 1004,$ donde $ [x]$ denota el mayor entero no mayor que $ x.$
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Olimpiada del Norte de China 2007 Problema 2
Sean $ a,\, b,\, c$ las longitudes de los lados de un triángulo y $ a+b+c = 3$ . Encuentre el mínimo de \[ a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{4abc}{3}\]
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Olimpiada del Norte de China 2007 Problema 1
Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. La circunferencia con diámetro $ AB$ interseca a $ CA,\, CB$ en $ M,\, N,$ respectivamente. Dibuje $ CT\perp AB$ e interseca a la circunferencia anterior en $ T$ , donde $ C$ y $ T$ están en el mismo lado de $ AB$ . $ S$ es un punto en $ AN$ tal que $ BT = BS$ . Demuestre que $ BS\perp SC$ .
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Olimpiada China Team Selection Test 1990 Problema 8
Hay 7 puntos arbitrarios en el plano. Se dibujan círculos a través de cada 4 puntos posibles concíclicos. Encuentra el número máximo de círculos que se pueden dibujar.
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Olimpiada China Team Selection Test 1990 Problema 7
Demuestre que para cada potencia entera de 2, existe un múltiplo de ella con todos los dígitos (en expresión decimal) distintos de cero.
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