La sucesión $ \{a_{n}\}$ está definida por $ a_{1}= 2007,\, a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}+1}$ para $ n \ge 1.$ Demuestre que $ [a_{n}] =2007-n$ para $ 0 \le n \le 1004,$ donde $ [x]$ denota el mayor entero no mayor que $ x.$