Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, los incentros de $\triangle ABC$ y $\triangle ADC$ son $I,J$, respectivamente. Se sabe que $AC,BD,IJ$ son concurrentes en un punto $P$. La recta perpendicular a $BD$ que pasa por $P$ interseca con la bisectriz del ángulo exterior de $\angle BAD$ y la bisectriz del ángulo exterior $\angle BCD$ en $E,F$, respectivamente. Demuestra que $PE=PF$.

Inicialmente, cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $n \times n$ se colorea de rojo, amarillo o azul. En cada ronda, realiza la siguiente operación para cada cuadrado unitario simultáneamente: Para un cuadrado rojo, si hay un cuadrado amarillo que tiene un borde común con él, entonces coloréalo de amarillo. Para un cuadrado amarillo, si hay un cuadrado azul que tiene un borde común con él, entonces coloréalo de azul. Para un cuadrado azul, si hay un cuadrado rojo que tiene un borde común con él, entonces coloréalo de rojo. Se sabe que después de varias rondas, todos los cuadrados unitarios de esta cuadrícula de $n \times n$ tienen el mismo color. Demuestra que la cuadrícula se ha vuelto monocromática a más tardar al final de la ronda $(2n-2)$.

(1) Demuestra que, en el plano complejo, el área de la envolvente convexa de todas las raíces complejas de $z^{20}+63z+22=0$ es mayor que $\pi$. (2) Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números complejos con suma $1$, y $k_1<k_2<\cdots<k_n$ sean enteros positivos impares. Sea $\omega$ un número complejo con norma al menos $1$. Demuestra que la ecuación \[ a_1 z^{k_1}+a_2 z^{k_2}+\cdots+a_n z^{k_n}=w \] tiene al menos una raíz compleja con norma como máximo $3n|\omega|$.

Demuestra que existen constantes $c$ y $\alpha > \frac{1}{2}$, tales que para cualquier entero positivo $n$, existe un subconjunto $A$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ con cardinalidad $|A| \ge c \cdot n^\alpha$, y para cualquier $x,y \in A$ con $x \neq y$, la diferencia $x-y$ no es un cuadrado perfecto.

Encuentra todos los enteros positivos $k$ tales que se puede encontrar un número de triángulos en el plano cartesiano, el centroide de cada triángulo es un punto reticular, la unión de estos triángulos es un cuadrado de lado $k$ (los lados del cuadrado no son necesariamente paralelos al eje, los vértices del cuadrado no son necesariamente puntos reticulares), y la intersección de dos triángulos cualquiera es un conjunto vacío, un punto común o un lado común.

Dado un entero positivo $n \ge 2$. Encuentra todas las $n$ - tuplas de enteros positivos $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$, tales que $1<a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le a_n$, $a_1$ es impar, y (1) $M=\frac{1}{2^n}(a_1-1)a_2 a_3 \cdots a_n$ es un entero positivo; (2) Se pueden elegir $n$ - tuplas de enteros $(k_{i,1},k_{i,2},\ldots,k_{i,n})$ para $i=1,2,\ldots,M$ tales que para cualquier $1 \le i_1 <i_2 \le M$, existe $j \in \{1,2,\ldots,n\}$ tal que $k_{i_1,j}-k_{i_2,j} \not\equiv 0, \pm 1 \pmod{a_j}$.

Dos números reales positivos $\alpha, \beta$ satisfacen que para cualquier entero positivo $k_1,k_2$, se cumple que $\lfloor k_1 \alpha \rfloor \neq \lfloor k_2 \beta \rfloor$, donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$. Demuestra que existen enteros positivos $m_1,m_2$ tales que $\frac{m_1}{\alpha}+\frac{m_2}{\beta}=1$.

Dadas dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ donde $\omega_2$ está dentro de $\omega_1$. Demuestra que existe un punto $P$ tal que para cualquier recta $\ell$ que no pase por $P$, si $\ell$ interseca la circunferencia $\omega_1$ en $A,B$ y $\ell$ interseca la circunferencia $\omega_2$ en $C,D$, donde $A,C,D,B$ se encuentran en $\ell$ en este orden, entonces $\angle APC=\angle BPD$.

Sean $m,n$ dos enteros positivos con $m \ge n \ge 2022$. Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ sean $2n$ números reales. Demuestra que el número de pares ordenados $(i,j) ~(1 \le i,j \le n)$ tales que \[ |a_i+b_j-ij| \le m \] no excede $3n\sqrt{m \log n}$.

Dado un entero positivo $n$, sea $D$ el conjunto de divisores positivos de $n$, y sea $f: D \to \mathbb{Z}$ una función. Demuestra que lo siguiente es equivalente: (a) Para cualquier divisor positivo $m$ de $n$, \[ n ~\Big|~ \sum_{d|m} f(d) \binom{n/d}{m/d}. \] (b) Para cualquier divisor positivo $k$ de $n$, \[ k ~\Big|~ \sum_{d|k} f(d). \]