La sucesión $ \{ f_n(a) \}$ satisface $ \displaystyle f_{n+1}(a) = 2 - \frac{a}{f_n(a)}$ , $ f_1(a) = 2$ , $ n=1,2, \cdots$ . Si existe un número natural $ n$ , tal que $ f_{n+k}(a) = f_{k}(a), k=1,2, \cdots$ , entonces llamamos al real no cero $ a$ un $ \textbf{punto periódico}$ de $ f_n(a)$ . Demuestra que la condición suficiente y necesaria para que $ a$ sea un $ \textbf{punto periódico}$ de $ f_n(a)$ es $ p_n(a-1)=0$ , donde $ \displaystyle p_n(x)=\sum_{k=0}^{\left[ \frac{n-1}{2} \right]} (-1)^k C_n^{2k+1}x^k$ , aquí definimos $ \displaystyle \frac{a}{0}= \infty$ y $ \displaystyle \frac{a}{\infty} = 0$ .

Para dos números racionales cualesquiera $ p$ y $ q$ en el intervalo $ (0,1)$ y la función $ f$ , siempre existe $ \displaystyle f \left( \frac{p+q}{2} \right) \leq \frac{f(p) + f(q)}{2}$ . Entonces demuestra que para números racionales cualesquiera $ \lambda, x_1, x_2 \in (0,1)$ , siempre existe: \[ f( \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 ) \leq \lambda f(x_i) + (1-\lambda) f(x_2)\]

Dado un triángulo $ ABC$ y $ AB=c$ , $ AC=b$ y $ BC=a$ que satisfacen $ a \geq b \geq c$ , $ BE$ y $ CF$ son dos bisectrices de ángulos interiores. $ P$ es un punto dentro del triángulo $ AEF$ . $ R$ y $ Q$ son las proyecciones de $ P$ en los lados $ AB$ y $ AC$ . Demuestra que $ PR + PQ + RQ < b$ .

Sean $ p_i \geq 2$ , $ i = 1,2, \cdots n$ $ n$ enteros tales que dos cualesquiera de ellos son primos relativos. Sea: \[ P = \{ x = \sum_{i = 1}^{n} x_i \prod_{j = 1, j \neq i}^{n} p_j \mid x_i \text{ es un entero no negativo}, i = 1,2, \cdots n \}\n\] Demuestra que el mayor entero $ M$ tal que $ M \not\in P$ es mayor que $ \displaystyle \frac {n - 2}{2} \cdot \prod_{i = 1}^{n} p_i$ , y también encuentra $ M$ .

$ A_1$ , $ B_1$ y $ C_1$ son las proyecciones de los vértices $ A$ , $ B$ y $ C$ del triángulo $ ABC$ en los lados respectivos. Si $ AB = c$ , $ AC = b$ , $ BC = a$ y $ AC_1 = 2t AB$ , $ BA_1 = 2rBC$ , $ CB_1 = 2 \mu AC$ . Demuestra que: \[ \frac {a^2}{b^2} \cdot \left( \frac {t}{1 - 2t} \right)^2 + \frac {b^2}{c^2} \cdot \left( \frac {r}{1 - 2r} \right)^2 + \frac {c^2}{a^2} \cdot \left( \frac {\mu}{1 - 2\mu} \right)^2 + 16tr \mu \geq 1\n\]

Sea $P_n(x)=a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ , con $n \geq 2$ , un polinomio de coeficientes reales. Demuestra que si existe $a > 0$ tal que \n\begin{align*} P_n(x) = (x + a)^2 \left( \sum_{i=0}^{n-2} b_i x^i \right), \end{align*}\ndonde $b_i$ son números reales positivos, entonces existe algún $i$ , con $1 \leq i \leq n-1$ , tal que \[a_i^2 - 4a_{i-1}a_{i+1} \leq 0.\]

Los enteros positivos $ \alpha, \beta, \gamma$ son las raíces de un polinomio $ f(x)$ con grado $ 4$ y el coeficiente del primer término es $ 1$ . Si existe un entero tal que $ f(-1)=f^2(s)$ . Demuestra que $ \alpha\beta$ no es un cuadrado perfecto.

Hay $ n$ puntos ( $ n \geq 4$ ) en una esfera con radio $ R$ , y no todos ellos se encuentran en la misma semiesfera. Demuestra que entre todos los ángulos formados por dos puntos cualesquiera de los $ n$ puntos y el centro de la esfera $ O$ ( $ O$ es el vértice del ángulo), hay al menos uno que no es menor que $ \displaystyle 2 \arcsin{\frac{\sqrt{6}}{3}}$ .

Dado $ n \geq 3$ , $ n$ es un entero. Demuestra que: \[ (2^n - 2) \cdot \sqrt{2i-1} \geq \left( \sum_{j=0}^{i-1}C_n^j + C_{n-1}^{i-1} \right) \cdot \sqrt{n}\] donde si $ n$ es par, entonces $ \displaystyle 1 \leq i \leq \frac{n}{2}$ ; si $ n$ es impar, entonces $ \displaystyle 1 \leq i \leq \frac{n-1}{2}$ .

Sea \[ f(x_1,x_2,x_3) = -2 \cdot (x_1^3+x_2^3+x_3^3) + 3 \cdot (x_1^2(x_2+x_3) + x_2^2 \cdot (x_1+x_3) + x_3^2 \cdot ( x_1+x_2 ) - 12x_1x_2x_3. \] Para cualquier real $r,s,t$ , denotamos \[ g(r,s,t)=\max_{t\leq x_3\leq t+2} |f(r,r+2,x_3)+s|. \] Encuentra el valor mínimo de $g(r,s,t)$ .